∇2ϕ=0\nabla^{2}\phi=0 ∇2ϕ=0
∂2u∂x2+∂2u∂y2=0\dfrac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0 ∂x2∂2u+∂y2∂2u=0
∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2=0\dfrac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}+\dfrac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}=0 ∂x2∂2u+∂y2∂2u+∂z2∂2u=0
设势函数 u∈C2u\in C^2u∈C2，则 Δu=0\Delta u=0Δu=0 称为拉普拉斯方程，其解称调和函数。若 F=−∇u\mathbf F=-\nabla uF=−∇u，则 ∇⋅F=−Δu\nabla\cdot\mathbf F=-\Delta u∇⋅F=−Δu，因此它描述该势场在区域内无源。保守性本身只说明场为某个势的梯度，并不保证无源：u=x2+y2u=x^2+y^2u=x2+y2 的梯度是保守场，但 Δu=4\Delta u=4Δu=4。相关算子见 拉普拉斯算子。
函数z=lnx2+y2z=\ln \sqrt{ x^{2}+y^{2} }z=lnx2+y2 在 (x,y)≠(0,0)(x,y)\ne(0,0)(x,y)=(0,0) 上满足拉普拉斯方程；原点是奇点
