雅可比矩阵反映了函数在某点处线性近似的局部性质。 在隐函数定理中，雅可比矩阵的非奇异性是保证隐函数存在及可微的关键条件之一。
在向量分析中，雅可比矩阵是函数的一阶偏导数 以一定方式排列成的矩阵。 当其为方形矩阵时，其行列式称为雅可比行列式 。要注意的是，在英文中雅可比矩阵跟雅可比行列式都可称作Jacobian。 其重要性在于，如果函数 f : R n → R m f : \mathbb{R_n} \to\mathbb{R_{m}} f : R n → R m 函数的微分 在向量值多变数函数的推广，在这种情况下，雅可比矩阵也被称作函数 f 在点 x 的微分或者导数。 在代数几何中，代数曲线的雅可比行列式'表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群，曲线可以嵌入其中。 它们全部都以普鲁士数学家卡尔·雅可比命名。
假设某函数从 f : R n → R m f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m f : R n → R m x ∈ R n x \in \mathbb{R}^n x ∈ R n f ( x ) ∈ R m f(x) \in \mathbb{R}^m f ( x ) ∈ R m m × n m \times n m × n R n \mathbb{R}^n R n R m \mathbb{R}^m R m 线性映射 ，其重要意义在于它表现了一个多变数向量函数的最佳线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于单变数函数的导数。 此函数 f f f J J J m × n m \times n m × n
J = [ ∂ f ∂ x 1 ⋯ ∂ f ∂ x n ] = [ ∂ f 1 ∂ x 1 ⋯ ∂ f 1 ∂ x n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f m ∂ x 1 ⋯ ∂ f m ∂ x n ] J = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}} & \cdots & \dfrac{\partial f}{\partial x_{n}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \cdots & \dfrac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} & \cdots & \dfrac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} \end{bmatrix} J = [ ∂ x 1 ∂ f ⋯ ∂ x n ∂ f ] = ∂ x 1 ∂ f 1 ⋮ ∂ x 1 ∂ f m ⋯ ⋱ ⋯ ∂ x n ∂ f 1 ⋮ ∂ x n ∂ f m
矩阵的分量可表示成：
J i j = ∂ f i ∂ x j J_{ij} = \dfrac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}} J ij = ∂ x j ∂ f i
空间曲线的切线和法平面
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雅可比行列式
