雅可比矩阵

简介

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在向量分析中，雅可比矩阵是函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。
当其为方形矩阵时，其行列式称为雅可比行列式。

其重要性在于，如果函数 $\mathbf{f} : \mathbb{R}^n \to\mathbb{R}^m$ 在点 $x$ 可微，在点 $x$ 的雅可比矩阵即为该函数在该点的最佳线性逼近。因此，雅可比矩阵是单变量实数函数的微分在向量值多变量函数上的推广。

定义

假设某函数 $\mathbf{f} : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$， 从 $x \in \mathbb{R}^n$ 映射到向量 $\mathbf{f}(x) \in \mathbb{R}^m$。

此函数 $\mathbf{f}$ 的雅可比矩阵 $J$ 为一个 $m \times n$ 的矩阵，其第 $i$ 行 ($i=1, \ldots, m$) 由其第 $i$ 个分量函数 $f_i$ (这是一个标量函数) 的梯度的转置 $\nabla f_i^{\mathsf T}$ 构成：

$$J = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_{1}} & \cdots & \dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_{n}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \nabla f_1^{\mathsf T} \\ \nabla f_2^{\mathsf T} \\ \vdots \\ \nabla f_m^{\mathsf T} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \cdots & \dfrac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} & \cdots & \dfrac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} \end{bmatrix}$$

矩阵的分量可表示成：

$$J_{ij} = \dfrac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}$$

性质

雅可比矩阵反映了函数在某点处线性近似的局部性质。
在隐函数定理中，雅可比矩阵的非奇异性是保证隐函数存在及可微的关键条件之一。

特例

• 当 $m=1$ 时, 向量函数 $\mathbf{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 退化为标量函数 $f$. 此时 $m \times n$ 的雅可比矩阵 $J$ 退化为 $1 \times n$ 矩阵, 即本文列向量约定下 $f$ 的梯度的转置.
• 当 $n=1$ 且 $m=1$ 时, 雅可比矩阵退化为 $1 \times 1$ 矩阵, 即普通一元函数导数 $f'(x)$.

可微与链式法则

偏导数存在能组成矩阵，但不自动保证可微。可微的含义是

$$\mathbf f(p+h)=\mathbf f(p)+J_{\mathbf f}(p)h+o(\|h\|).$$

若 $\mathbf f:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ 在 $p$ 可微，$\mathbf g:\mathbb R^m\to\mathbb R^k$ 在 $\mathbf f(p)$ 可微，则

$$J_{\mathbf g\circ\mathbf f}(p)=J_{\mathbf g}(\mathbf f(p))J_{\mathbf f}(p).$$

矩阵维数为 $(k\times m)(m\times n)=k\times n$，乘法顺序由映射的复合顺序决定。