梯度定义

梯度是一个标量函数的最大增长方向，其给出了在该点函数增长最快的方向。如有函数 $f(x, y, z)$，其梯度 $\nabla f$ 是一个向量，由偏导数构成：

$$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$$

切平面的法向量

Wikipedia

在向量微积分中，梯度是一种关于多元导数的概括。平常的一元（单变量）函数的导数是标量值函数，而多元函数的梯度是向量值函数。多元可微函数 $f$ 在点 $P$ 上的梯度，是以 $f$ 在 $P$ 上的偏导数为分量的向量。 就像一元函数的导数表示这个函数图形的切线的斜率，如果多元函数在点 $P$ 上的梯度不是零向量，则它的方向是这个函数在 $P$ 上最大增长的方向、而它的量是在这个方向上的增长率。 梯度向量中的幅值和方向是与坐标的选择无关的独立量。 在欧几里德空间或更一般的流形之间的多元可微映射的向量值函数的梯度推广是雅可比矩阵。在巴拿赫空间之间的函数的进一步推广是弗雷歇导数。

定义：

标量函数 $f: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}$ 的梯度表示为：$\nabla f$ 或 $\operatorname{grad} f$，其中 $\nabla$（nabla）表示向量微分算子。 函数 $f$ 的梯度，$\nabla f$，为向量场且对任意单位向量 $v$ 满足下列方程式:

$$(\nabla f(x)) \cdot v = D_{v}f(x)$$

直角坐标系中 $\nabla f$ 表示为：

$$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) = \frac{\partial f}{\partial x} i + \frac{\partial f}{\partial y} j + \frac{\partial f}{\partial z} k$$

其中 $i, j, k$ 为标准的单位向量，分别指向 $x, y, z$ 坐标的方向（参看偏导数和向量）。 虽然使用坐标表达，但结果是在正交变换下不变，从几何的观点来看，这是应该的。