拉普拉斯算子

拉普拉斯算子$\nabla^2$使用向量微分算子 $\nabla$ 定义, 是其特定组合(两次应用 $\nabla$ 并取散度)，表示为 $\nabla^2$ 或 $\Delta$。

拉普拉斯算子作用于标量场 $\phi(x, y, z)$：

$$\nabla^2 \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}$$

对于向量场 $\mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z)$，拉普拉斯算子可以应用于每个分量：

$$\nabla^2 \mathbf{F} = \left( \nabla^2 F_x, \nabla^2 F_y, \nabla^2 F_z \right)$$

以上按分量作用的形式采用笛卡尔固定基，并要求相应二阶导数存在。一般曲线坐标中不能仅把坐标名称替换；标量算子是 $\Delta\phi=\nabla\cdot\nabla\phi$，向量分量式还涉及基向量变化。方程 $\Delta\phi=0$ 的解释见拉普拉斯方程。