多元复合函数求导

定义和基本概念

设有一个多变量复合函数 $z=f(x,y)$，其中 $x$ 和 $y$ 又是其他变量 $u$ 和 $v$ 的函数，即 $x=g(u,v)$ 和 $y=h(u,v)$。我们想找到 $z$ 对 $u$ 和 $v$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial v}$。

链式法则

通过已知的偏导数，找到复合函数的偏导数：

$$\frac{\partial z}{\partial u} =\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$$

$$\frac{\partial z}{\partial v} =\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}$$

这种方法可以推广到任意数量的变量。

例题

设 $z=x^2+y^2$，$x=u^2-v$，$y=uv$，求 $\dfrac{\partial z}{\partial u}$ 与 $\dfrac{\partial z}{\partial v}$。

1. 计算 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数：

   $$\frac{\partial z}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=2y$$

2. 计算 $x$ 和 $y$ 对 $u$ 和 $v$ 的偏导数：

   $$\frac{\partial x}{\partial u}=2u,\qquad \frac{\partial x}{\partial v}=-1,\qquad \frac{\partial y}{\partial u}=v,\qquad \frac{\partial y}{\partial v}=u$$

3. 代入链式法则：

   $$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial u} &=2x\cdot2u+2y\cdot v\\ &=4u(u^2-v)+2uv^2, \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial v} &=2x\cdot(-1)+2y\cdot u\\ &=-2(u^2-v)+2u^2v. \end{aligned}$$