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定义和基本概念

设有一个多变量复合函数 z=f(x,y)z = f(x, y)，其中 xx 和 yy 又是其他变量 uu 和 vv 的函数，即 x=g(u,v)x = g(u, v) 和 y=h(u,v)y = h(u, v)。我们想找到 zz 对 uu 和 vv 的偏导数 ∂z∂u\frac{\partial z}{\partial u} 和 ∂z∂v\frac{\partial z}{\partial v}。

链式法则

通过已知的偏导数，找到复合函数的偏导数

∂z∂u=∂z∂x⋅∂x∂u+∂z∂y⋅∂y∂u \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial u}

∂z∂v=∂z∂x⋅∂x∂v+∂z∂y⋅∂y∂v \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial v}

这种方法可以推广到任意数量的变量

示例

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假设有函数 z=f(x,y)=x2+y2z = f(x, y) = x^2 + y^2，其中 x=g(u,v)=u2−vx = g(u, v) = u^2 - v 和 y=h(u,v)=uvy = h(u, v) = uv，我们来求 zz 对 uu 和 vv 的偏导数。

  1. 计算 zz 对 xx 和 yy 的偏导数：

∂z∂x=∂∂x(x2+y2)=2x \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) = 2x

∂z∂y=∂∂y(x2+y2)=2y \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2) = 2y

  1. 计算 xx 和 yy 对 uu 和 vv 的偏导数：

∂x∂u=∂∂u(u2−v)=2u \frac{\partial x}{\partial u} = \frac{\partial}{\partial u}(u^2 - v) = 2u

∂x∂v=∂∂v(u2−v)=−1 \frac{\partial x}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial v}(u^2 - v) = -1

∂y∂u=∂∂u(uv)=v \frac{\partial y}{\partial u} = \frac{\partial}{\partial u}(uv) = v

∂y∂v=∂∂v(uv)=u \frac{\partial y}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial v}(uv) = u

  1. 代入链式法则公式：

∂z∂u=∂z∂x⋅∂x∂u+∂z∂y⋅∂y∂u \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial u}

将已知偏导数代入，得到：

∂z∂u=2x⋅2u+2y⋅v \frac{\partial z}{\partial u} = 2x \cdot 2u + 2y \cdot v

因为 x=u2−vx = u^2 - v 和 y=uvy = uv，所以：

∂z∂u=2(u2−v)⋅2u+2(uv)⋅v=4u(u2−v)+2uv2 \frac{\partial z}{\partial u} = 2(u^2 - v) \cdot 2u + 2(uv) \cdot v = 4u(u^2 - v) + 2uv^2

∂z∂v=∂z∂x⋅∂x∂v+∂z∂y⋅∂y∂v \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial v}

将已知偏导数代入，得到：

∂z∂v=2x⋅(−1)+2y⋅u \frac{\partial z}{\partial v} = 2x \cdot (-1) + 2y \cdot u

因为 x=u2−vx = u^2 - v 和 y=uvy = uv，所以：

∂z∂v=2(u2−v)⋅(−1)+2(uv)⋅u=−2(u2−v)+2u2v \frac{\partial z}{\partial v} = 2(u^2 - v) \cdot (-1) + 2(uv) \cdot u = -2(u^2 - v) + 2u^2v

综上所述，复合函数 z=f(x,y)=x2+y2z = f(x, y) = x^2 + y^2 对 uu 和 vv 的偏导数分别为：

∂z∂u=4u(u2−v)+2uv2 \frac{\partial z}{\partial u} = 4u(u^2 - v) + 2uv^2

∂z∂v=−2(u2−v)+2u2v \frac{\partial z}{\partial v} = -2(u^2 - v) + 2u^2v