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多元隐函数求导

CyletixGemini2.5Pro数学
学习导语

本节讨论隐函数定理在多元求导中的应用.
当多个变量通过方程 F(x,y,z,…)=0F(x, y, z, \ldots)=0 相关联时,
即使函数形式无法显式写出, 仍可以通过偏导数关系确定一个变量对其他变量的变化率.
这是多元微分法的重要工具, 其逻辑基础源于连续性与可微性.

背景

在显函数 y=f(x)y=f(x) 的情形中, 求导规则直接给出 dydx=f′(x)\dfrac{dy}{dx}=f'(x).
然而在隐函数关系 F(x,y)=0F(x,y)=0 中, yy 不一定能显式表示,
但若局部可表示为 y=f(x)y=f(x), 仍然可以利用偏导数得到导数公式。
这种思路推广到高维后, 就是多维隐函数定理。

二维情形

隐函数定理 (二维)

设函数 F(x,y)F(x, y) 在点 (x0,y0)(x_0, y_0) 的某邻域内连续可微,
且满足 F(x0,y0)=0F(x_0, y_0)=0, 以及

∂F∂y(x0,y0)≠0\frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0)\ne 0

则存在邻域 U(x0)U(x_0), 其中可唯一确定一个连续可微函数 y=f(x)y=f(x),
使得 F(x,f(x))=0F(x, f(x))=0.
此时 yy 对 xx 的导数为：

dydx=−∂F∂x∂F∂y\frac{dy}{dx}=-\frac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial y}}

示例: 二维情形

假设有隐函数 F(x,y)=x2+y2−1=0F(x, y) = x^2 + y^2 - 1=0，我们想找到 yy 关于 xx 的导数 dydx\frac{dy}{dx}。

  1. 计算 FF 对 xx 和 yy 的偏导数：

    ∂F∂x=∂∂x(x2+y2−1)=2x\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2 - 1) = 2x

    ∂F∂y=∂∂y(x2+y2−1)=2y\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2 - 1) = 2y

  2. 代入隐函数定理公式：

    dydx=−∂F∂x∂F∂y=−2x2y=−xy\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}

该结果说明在圆 x2+y2=1x^2+y^2=1 上, 切线斜率随位置变化而不同。

三维情形

若 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 在点 (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) 可微, 且

∂F∂z(x0,y0,z0)≠0,\frac{\partial F}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)\ne0,

则存在邻域可表示 z=f(x,y)z=f(x,y), 且

∂z∂x=−∂F∂x∂F∂z,∂z∂y=−∂F∂y∂F∂z.\frac{\partial z}{\partial x} =-\frac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial z}},\qquad \frac{\partial z}{\partial y} =-\frac{\dfrac{\partial F}{\partial y}}{\dfrac{\partial F}{\partial z}}.

这些偏导描述了隐曲面 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 在各方向上的倾斜程度。
几何上, 它们对应于曲面上法向方向与坐标平面的夹角变化率。

多方程组情形

若有 mm 个方程：

{F1(x1,…,xn,y1,…,ym)=0F2(x1,…,xn,y1,…,ym)=0⋮Fm(x1,…,xn,y1,…,ym)=0\begin{cases} F_1(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m)=0\\ F_2(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m)=0\\ \vdots\\ F_m(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m)=0 \end{cases}

并且在点 (x0,y0)(\mathbf{x}_0,\mathbf{y}_0) 处满足雅可比行列式

Jy=∣∂F1∂y1⋯∂F1∂ym⋮⋱⋮∂Fm∂y1⋯∂Fm∂ym∣≠0,J_y= \begin{vmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial y_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_1}{\partial y_m}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \dfrac{\partial F_m}{\partial y_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_m}{\partial y_m} \end{vmatrix} \ne0,

则可以在该点附近唯一地确定连续可微的隐函数：

yi=fi(x1,…,xn),i=1,…,m.y_i=f_i(x_1,\ldots,x_n),\quad i=1,\ldots,m.

此时导数矩阵可表示为：

∂(y1,…,ym)∂(x1,…,xn)=−Jy−1Jx,\frac{\partial(y_1,\ldots,y_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)} =-J_y^{-1}J_x,

其中 JxJ_x 为 (∂Fi∂xj)\left(\dfrac{\partial F_i}{\partial x_j}\right) 组成的雅可比矩阵。

示例: 方程组情形

假设我们有两个隐函数 F(x,y,u,v)=0F(x, y, u, v) = 0 和 G(x,y,u,v)=0G(x, y, u, v) = 0，我们希望计算偏导数 ∂u∂x\frac{\partial u}{\partial x}、∂u∂y\frac{\partial u}{\partial y}、∂v∂x\frac{\partial v}{\partial x} 和 ∂v∂y\frac{\partial v}{\partial y}。

F(x,y,u,v)=u2+v2−x2−y2=0F(x, y, u, v) = u^2 + v^2 - x^2 - y^2 = 0

G(x,y,u,v)=uv−xy=0G(x, y, u, v) = uv - xy = 0

1. 定义雅可比行列式 (条件)

我们关心 u,vu, v 是否能表示为 x,yx, y 的函数. 根据定理, 需要检验 u,vu, v 相关的雅可比行列式 J(u,v)J_{(u,v)} (即 JyJ_y):

Jy=D=∣∂F∂u∂F∂v∂G∂u∂G∂v∣=∣2u2vvu∣J_y = D = \begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2u & 2v \\ v & u \end{vmatrix}

其行列式 DD 为：

D=(2u)(u)−(2v)(v)=2(u2−v2)D = (2u)(u) - (2v)(v) = 2(u^2 - v^2)

只要 u2≠v2u^2 \ne v^2, 隐函数定理即适用。

2. 计算偏导数 (使用克拉默法则)

根据隐函数定理 (或使用克拉默法则求解线性方程组), 我们可以求出各个偏导数。

(求 ∂u∂x\frac{\partial u}{\partial x})

∂u∂x=−1D∣∂F∂x∂F∂v∂G∂x∂G∂v∣=−12(u2−v2)∣−2x2v−yu∣=−(−2xu)−(−2yv)2(u2−v2)=xu−yvu2−v2\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{1}{D} \begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial x} & \frac{\partial G}{\partial v} \end{vmatrix} = -\frac{1}{2(u^2 - v^2)} \begin{vmatrix} -2x & 2v \\ -y & u \end{vmatrix} = -\frac{(-2xu) - (-2yv)}{2(u^2 - v^2)} = \frac{x u - y v}{u^2 - v^2}

(求 ∂v∂x\frac{\partial v}{\partial x})

∂v∂x=−1D∣∂F∂u∂F∂x∂G∂u∂G∂x∣=−12(u2−v2)∣2u−2xv−y∣=−(−2uy)−(−2xv)2(u2−v2)=uy−xvu2−v2\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{1}{D} \begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial x} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial x} \end{vmatrix} = -\frac{1}{2(u^2 - v^2)} \begin{vmatrix} 2u & -2x \\ v & -y \end{vmatrix} = -\frac{(-2uy) - (-2xv)}{2(u^2 - v^2)} = \frac{u y - x v}{u^2 - v^2}

几何解释与应用

  • 在二维情形下, 隐函数定理描述了曲线的切线方向；
  • 在三维情形下, 描述了曲面的切平面与法向方向；
  • 在方程组情形中, 隐函数定理刻画了参数变化引起的约束系统响应。
    例如, 在热力学、流体力学或经济学模型中,
    当某些变量间存在内在约束时, 其局部变化关系都可由隐函数定理求得。
小结

隐函数定理给出了“由约束关系决定的函数”的局部存在性与可导性条件。
它将“隐含关系”转化为“偏导比例”, 使得复杂系统中的依赖变量仍可通过局部分析求得导数。
本定理是偏导数与雅可比行列式在高维空间的综合应用,
是多元微积分向微分几何与非线性系统分析过渡的关键桥梁。

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