偏微分方程的定义

偏微分方程（PDE）是含多元未知函数及其偏导数的方程，用来描述场与连续介质随空间和时间的演化：热传导、波动、静电场、流体运动都归结为少数几类典型方程。它是微分方程基本概念从“单变量演化”到“空间分布”的推广——自变量从一个变为多个，通解也从含任意常数变为含任意函数。需先掌握微分方程基本概念与偏导数。

定义

设 $u=u(x_1,\dots,x_n)$ 为多元函数，含 $u$ 及其偏导数的方程

$$F(x_1,\dots,x_n,u,u_{x_1},\dots,u_{x_ix_j},\dots)=0$$

称为偏微分方程，其中 $u_{x_i}=\partial u/\partial x_i$。方程中出现的最高阶偏导数的阶数称为方程的阶；物理中一阶（输运）与二阶（扩散、波动、位势）最为常见。与常微分方程不同，二阶线性 PDE 按最高阶项（主部）系数的符号可分为椭圆、抛物、双曲三类，分别对应稳态、扩散与波动现象。

分类

• 线性性：方程对 $u$ 及其各阶偏导数是线性的，且系数只依赖于自变量 → 线性，如热方程与拉普拉斯方程；含 $u$ 与导数的乘积或非线性函数 → 非线性，如纳维-斯托克斯方程；非线性项只出现在低阶项则称半线性。
• 齐次性：不含独立于 $u$ 的源项为齐次，否则非齐次。齐次线性方程的解满足叠加原理，这是分离变量法的基础；非齐次方程的解可写成齐次通解加特解。

定解问题

PDE 一般有无穷多解，须配定解条件才能选出物理解：

• 初值问题（Cauchy 问题）：给定 $t=0$ 时刻 $u$ 及其若干阶时间偏导数的值，如热方程的 $u(x,0)=\varphi(x)$。
• 边值问题：在区域边界 $\partial\Omega$ 上给条件——Dirichlet（$u|_{\partial\Omega}=g$）、Neumann（$\dfrac{\partial u}{\partial n}\Big|_{\partial\Omega}=g$）、Robin（混合型），见热方程的定解条件。
• 混合问题：既有初值又有边值，如弦振动、有界杆上的热传导。

一个定解问题适定是指解存在、唯一且连续依赖于数据；这一般性的存在唯一性与正则性理论由泛函分析承担（见弱解（偏微分方程）与Sobolev空间的定义）。

典型方程一览

类型	方程	现象
椭圆	拉普拉斯方程 $\nabla^2 u=0$、泊松方程 $\nabla^2 u=f$	稳态场
抛物	热方程 $u_t=\alpha\nabla^2 u$	扩散、热传导
双曲	波动方程 $u_{tt}=c^2\nabla^2 u$	波传播

各方程详见常见偏微分方程。

后续

求解主线为分离变量法（把 PDE 化为Sturm-Liouville 理论特征值问题）与积分变换法（见拉普拉斯变换与偏导数的交换）；非线性方程的激波、孤立子等现象见非线性波动方程。