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判断极值

CyletixGPT-42025年1月2日大约 2 分钟

判断极值

使用海塞矩阵的行列式判断函数在极值点的性质

D=H=2fx22fxy2fyx2fy2=fxxfyy(fxy)2 D= |H| = \begin{vmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{vmatrix} = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2

  • 如果 D>0D > 0fxx>0f_{xx} > 0,则该点是局部极小值。
  • 如果 D>0D > 0fxx<0f_{xx} < 0,则该点是局部极大值。
  • 如果 D<0D < 0,则该点是鞍点。
  • 如果 D=0D = 0,结果不确定,需要进一步分析。

示例

要求函数 f(x,y)=x44xy+2y2f(x,y) = x^4 - 4xy + 2y^2 在点 (1,2)(1,2) 处的切平面方程,并求其极值,按照以下步骤进行:

1. 计算函数在 (1,2)(1,2) 处的切平面方程

计算偏导数

首先,我们需要计算函数的偏导数:

fx=fx=4x34y f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 4x^3 - 4y

fy=fy=4x+4y f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -4x + 4y

计算在 (1,2)(1,2) 处的偏导数值

fx(1,2)=4(1)34(2)=48=4 f_x(1,2) = 4(1)^3 - 4(2) = 4 - 8 = -4

fy(1,2)=4(1)+4(2)=4+8=4 f_y(1,2) = -4(1) + 4(2) = -4 + 8 = 4

计算函数在 (1,2)(1,2) 处的函数值

f(1,2)=(1)44(1)(2)+2(2)2=18+8=1 f(1,2) = (1)^4 - 4(1)(2) + 2(2)^2 = 1 - 8 + 8 = 1

构建切平面方程

切平面方程的通式为:

zf(a,b)=fx(a,b)(xa)+fy(a,b)(yb) z - f(a,b) = f_x(a,b)(x - a) + f_y(a,b)(y - b)

将已知点 (a,b)=(1,2)(a,b) = (1,2),及其函数值和偏导数值代入,得到:

z1=4(x1)+4(y2) z - 1 = -4(x - 1) + 4(y - 2)

z1=4x+4+4y8 z - 1 = -4x + 4 + 4y - 8

z=4x+4y3 z = -4x + 4y - 3

所以,切平面方程为:

z=4x+4y3 z = -4x + 4y - 3

2. 求函数的极值

计算临界点

临界点满足 fx=0f_x = 0fy=0f_y = 0

4x34y=0x3=y 4x^3 - 4y = 0 \quad \Rightarrow \quad x^3 = y

4x+4y=0y=x -4x + 4y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = x

y=xy = x 代入 x3=yx^3 = y,得到:

x3=xx(x21)=0 x^3 = x \quad \Rightarrow \quad x(x^2 - 1) = 0

所以,x=0x = 0x=±1x = \pm1。于是,临界点为:

(0,0),(1,1),(1,1) (0,0), (1,1), (-1,-1)

计算二阶导数并使用 Hessian 矩阵判定极值

fxx=12x2,fyy=4,fxy=4 f_{xx} = 12x^2, \quad f_{yy} = 4, \quad f_{xy} = -4

在点 (x,y)(x,y) 处的 Hessian 矩阵为:

H=(fxxfxyfxyfyy)=(12x2444) H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12x^2 & -4 \\ -4 & 4 \end{pmatrix}

计算 Hessian 行列式 D=fxxfyy(fxy)2D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2

D=12x24(4)2=48x216 D = 12x^2 \cdot 4 - (-4)^2 = 48x^2 - 16

检查各个临界点:

  • (0,0)(0,0)

D=480216=16H 的行列式为负,故为鞍点 D = 48 \cdot 0^2 - 16 = -16 \quad \Rightarrow \quad H \text{ 的行列式为负,故为鞍点}

  • (1,1)(1,1)

D=481216=32fxx=12>0局部极小值 D = 48 \cdot 1^2 - 16 = 32 \quad \text{且} \quad f_{xx} = 12 > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{局部极小值}

  • (1,1)(-1,-1)

D=48(1)216=32fxx=12>0局部极小值 D = 48 \cdot (-1)^2 - 16 = 32 \quad \text{且} \quad f_{xx} = 12 > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{局部极小值}

结果总结

  • 在点 (1,2)(1,2) 处的切平面方程为:z=4x+4y3z = -4x + 4y - 3
  • 函数 f(x,y)f(x,y)(1,1)(1,1)(1,1)(-1,-1) 处有局部极小值,在 (0,0)(0,0) 处为鞍点。