使用海塞矩阵的行列式判断函数在极值点的性质
D=∣H∣=∂x2∂2f∂y∂x∂2f∂x∂y∂2f∂y2∂2f=fxxfyy−(fxy)2
- 如果 D>0 且 fxx>0,则该点是局部极小值。
- 如果 D>0 且 fxx<0,则该点是局部极大值。
- 如果 D<0,则该点是鞍点。
- 如果 D=0,结果不确定,需要进一步分析。
要求函数 f(x,y)=x4−4xy+2y2 在点 (1,2) 处的切平面方程,并求其极值,按照以下步骤进行:
首先,我们需要计算函数的偏导数:
fx=∂x∂f=4x3−4y
fy=∂y∂f=−4x+4y
fx(1,2)=4(1)3−4(2)=4−8=−4
fy(1,2)=−4(1)+4(2)=−4+8=4
f(1,2)=(1)4−4(1)(2)+2(2)2=1−8+8=1
切平面方程的通式为:
z−f(a,b)=fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b)
将已知点 (a,b)=(1,2),及其函数值和偏导数值代入,得到:
z−1=−4(x−1)+4(y−2)
z−1=−4x+4+4y−8
z=−4x+4y−3
所以,切平面方程为:
z=−4x+4y−3
临界点满足 fx=0 和 fy=0:
4x3−4y=0⇒x3=y
−4x+4y=0⇒y=x
将 y=x 代入 x3=y,得到:
x3=x⇒x(x2−1)=0
所以,x=0 或 x=±1。于是,临界点为:
(0,0),(1,1),(−1,−1)
fxx=12x2,fyy=4,fxy=−4
在点 (x,y) 处的 Hessian 矩阵为:
H=(fxxfxyfxyfyy)=(12x2−4−44)
计算 Hessian 行列式 D=fxxfyy−(fxy)2:
D=12x2⋅4−(−4)2=48x2−16
检查各个临界点:
D=48⋅02−16=−16⇒H 的行列式为负,故为鞍点
D=48⋅12−16=32且fxx=12>0⇒局部极小值
D=48⋅(−1)2−16=32且fxx=12>0⇒局部极小值
- 在点 (1,2) 处的切平面方程为:z=−4x+4y−3。
- 函数 f(x,y) 在 (1,1) 和 (−1,−1) 处有局部极小值,在 (0,0) 处为鞍点。