二元泰勒公式

二元泰勒公式提供了一个二元函数 $f(x, y)$ 在 $(a, b)$ 附近的二阶近似。是泰勒公式的推广

设 $f(x, y)$ 是一个在点 $(a, b)$ 的邻域内具有二阶连续偏导数的函数，那么 $f(x, y)$ 在 $(a, b)$ 处的二阶泰勒展开式为：

$$f(x, y) \approx f(a, b) + \frac{\partial f}{\partial x}(a, b)(x - a) + \frac{\partial f}{\partial y}(a, b)(y - b) + \frac{1}{2!} \left[ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a, b)(x - a)^2 + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a, b)(x - a)(y - b) + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a, b)(y - b)^2 \right]$$

分为以下三部分:

零阶项

$$f(a, b)$$

一阶项

$$\frac{\partial f}{\partial x}(a, b)(x - a)$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}(a, b)(y - b)$$

二阶项

$$\frac{1}{2!} \left[ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a, b)(x - a)^2 \right]$$

$$\frac{1}{2!} \left[ 2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a, b)(x - a)(y - b) \right]$$

$$\frac{1}{2!} \left[ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a, b)(y - b)^2 \right]$$

通项

在所需阶数的偏导数存在并连续时，二元泰勒多项式中次数为 $m+n$ 的项为：

$$\frac{1}{m!n!} \cdot \frac{\partial^{m+n} f(a,b)}{\partial x^m \partial y^n} \cdot (x-a)^m \cdot (y-b)^n$$

其中：

• $m$ 和 $n$ 分别是偏导数对 $x$ 和 $y$ 的次数。
• $\frac{\partial^{m+n} f(a,b)}{\partial x^m \partial y^n}$ 是在点 $(a, b)$ 处对 $f(x, y)$ 先对 $x$ 求 $m$ 次偏导数，再对 $y$ 求 $n$ 次偏导数。
• $(x-a)$ 和 $(y-b)$ 分别是 $x$ 和 $y$ 相对于 $a$ 和 $b$ 的偏移量。

若 $f$ 在 $(a,b)$ 附近解析，才可在足够小的绝对收敛邻域内写成下面的双重级数。仅二阶连续可微，甚至无穷可微，都不足以保证该等式：

$$f(x, y) = \sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{m!n!} \cdot \frac{\partial^{m+n} f(a,b)}{\partial x^m \partial y^n} \cdot (x-a)^m \cdot (y-b)^n$$

其中：

• $m$ 和 $n$ 都从 $0$ 开始，可以取任何非负整数。
• $m$ 和 $n$ 彼此独立，即 $m$ 的取值不影响 $n$ 的取值，反之亦然。

这意味着，求和是对所有可能的 $m$ 和 $n$ 的组合进行的，包含了所有的偏导数项。这是二元函数泰勒展开的完整级数形式。

余项与极值判定

令 $p=(a,b)^{\mathsf T}$、$h=(x-a,y-b)^{\mathsf T}$。对邻域内的 $C^2$ 函数，准确的二阶公式是

$$f(p+h)=f(p)+\nabla f(p)^{\mathsf T}h+\tfrac12h^{\mathsf T}H(p)h+o(\|h\|^2).$$

可对一元函数 $t\mapsto f(p+th)$ 使用泰勒公式并利用二阶导数的连续性得到该式。只有在 $\nabla f(p)=0$ 时，一阶项才消失，因而可以用海塞矩阵的定性判断多元函数极值；这也解释了为什么不能直接在任意点套用二阶极值判据。