简介

方向导描述了多变量函数在某一点沿特定方向的变化率。直观地说，方向导数告诉我们，当我们沿着某个方向微小地移动时，函数值的变化量。 假设有一个定义在欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 中的可微函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，我们想计算这个函数在点 $p$ 处沿着单位向量 $u$ 方向的方向导数。

定义

$$D_{u} f(p) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(p + hu) - f(p)}{h}$$

如果函数 $f$ 在点 $p$ 是可微的，方向导数可以通过函数的梯度 $\nabla f(p)$ 和方向向量 $u$ 的点积来计算：

$$D_{u} f(p) = \nabla f(p) \cdot u = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}(p) u_i$$

这里，$\nabla f(p)$ 是 $f$ 在点 $p$ 处的梯度，$u$ 是一个单位向量，表示特定的方向，$u_i$ 是向量 $u$ 的第 $i$ 个分量。