多元函数的连续性

学习导语

多元函数的连续性在多元函数的极限的基础上, 研究函数在某点是否"无突变" .
它连接了"极限的存在" 与"函数自身的取值" , 是分析函数可微性的必要前提.

思考

在单变量情形中, 若 $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$, 则称函数在 $x_0$ 处连续.
这一思想自然推广到高维情形:

"当自变量 $\mathbf{x}$ 趋于 $\mathbf{x}_0$ 时, 函数值是否趋向于自身在该点的取值？"
如果趋近方向无关, 且极限与函数值一致, 则该点处的函数是连续的.

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定义

设 $f:D\subseteq \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, 若

$$\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}_0)$$

则称 $f$ 在点 $\mathbf{x}_0$ 连续.
若 $f$ 在集合 $D$ 内的每一点都连续, 则称 $f$ 在 $D$ 上连续.
当极限存在但不等于 $f(\mathbf{x}_0)$ 时, 称函数在该点 不连续, 或称存在 间断点.

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几何解释

在二维情形 $z=f(x,y)$ 中, 函数的图像是一个曲面.
若当 $(x,y)\to(x_0,y_0)$ 时, 曲面上点 $(x,y,f(x,y))$ 平滑地逼近点 $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$,
即曲面上无断裂, 无突起, 无跳变, 则函数在该点连续.
换句话说, 连续性保证了空间中曲面局部的连通性和平滑性.

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判定条件

由定义直接推出, 函数在 $\mathbf{x}_0$ 连续等价于以下三个条件同时成立:

1. $f(\mathbf{x}_0)$ 有定义;
2. $\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})$ 存在;
3. 两者相等: $\displaystyle \lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})=f(\mathbf{x}_0)$.
   若任一条件不满足, 则函数在 $\mathbf{x}_0$ 不连续.

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示例

%%常见连续函数%%

1. 初等连续函数

所有关于有限次加, 减, 乘, 除 (分母非零) 与复合的初等函数, 在其定义域内都连续.
例如:

$$x^2+y^2,\quad e^{x+y},\quad \sin(xy),\quad \ln(x^2+y^2)$$

2. 复合函数的连续性

若 $g$ 在点 $a$ 连续, 且 $f$ 在 $g$ 的取值点 $g(a)$ 连续,
则复合函数 $f(g(x))$ 在 $a$ 连续.

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不连续类型

在多元情形中, 不连续的本质与单变量相同, 但表现更复杂:

1. 可去间断点: 极限存在但不等于函数值, 或函数值未定义;
2. 跳跃间断点: 沿不同路径趋近极限不同;
3. 无穷间断点: 函数值趋于无穷大.
   示例:

$$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}, \quad f(0,0)=0$$

沿不同路径极限不同, 故 $(0,0)$ 为跳跃间断点.

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连续性的运算规律

若 $f,g$ 在点 $\mathbf{x}_0$ 连续, 则:

1. $f\pm g$ 在 $\mathbf{x}_0$ 连续;
2. $fg$ 在 $\mathbf{x}_0$ 连续;
3. 若 $g(\mathbf{x}_0)\ne0$, 则 $\dfrac{f}{g}$ 在 $\mathbf{x}_0$ 连续;
4. 若 $f$ 在 $\mathbf{x}_0$ 连续且 $h$ 在 $f(\mathbf{x}_0)$ 连续, 则 $h\circ f$ 在 $\mathbf{x}_0$ 连续.
   这些性质保证了多元函数代数运算下的结构稳定性.

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例题

例 1

$$f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}, \quad f(0,0)=0$$

计算极限:

$$f=r\cos^2\theta\sin\theta \to 0$$

结果与方向无关, 且 $f(0,0)=0$,
故 $f$ 在原点连续.

例 2

$$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}, \quad f(0,0)=0$$

沿 $y=x$ 得 $\frac{1}{2}$, 沿 $y=-x$ 得 $-\frac{1}{2}$,
极限不存在, 故函数在原点不连续.

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小结

多元函数连续性的核心是 极限存在且等于函数值.
连续性使函数在局部表现平滑, 为偏导数和可微性提供了必要条件.
连续刻画了函数在空间中的"连通和平滑" .