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介绍

雅可比行列式在隐函数定理中的应用非常重要，它涉及到如何从隐式函数中求解显式偏导数。

雅可比矩阵

假设我们有两个隐函数 F(x,y,u,v)=0F(x, y, u, v) = 0 和 G(x,y,u,v)=0G(x, y, u, v) = 0，我们希望通过隐函数定理来计算偏导数 ∂u∂x\frac{\partial u}{\partial x}、∂u∂y\frac{\partial u}{\partial y}、∂v∂x\frac{\partial v}{\partial x} 和 ∂v∂y\frac{\partial v}{\partial y}。 在这种情况下，我们需要计算雅可比矩阵和雅可比行列式。

定义雅可比矩阵

考虑函数 FF 和 GG，它们分别是 R4\mathbb{R}^4 到 R\mathbb{R} 的函数。我们可以构造雅可比矩阵如下：

J(F,G)=[∂F∂x∂F∂y∂F∂u∂F∂v∂G∂x∂G∂y∂G∂u∂G∂v] J_{(F, G)} = \begin{bmatrix} \frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial y} & \frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial x} & \frac{\partial G}{\partial y} & \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v} \end{bmatrix}

我们感兴趣的是变量 uu 和 vv 关于 xx 和 yy 的偏导数。对于隐函数定理，我们特别关注雅可比矩阵的一个子矩阵，即对 uu 和 vv 的偏导数矩阵：

J(u,v)=[∂F∂u∂F∂v∂G∂u∂G∂v] J_{(u, v)} = \begin{bmatrix} \frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v} \end{bmatrix}

如果这个子矩阵的行列式非零，我们可以应用隐函数定理。

计算偏导数

根据隐函数定理，偏导数 ∂u∂x\frac{\partial u}{\partial x}、∂u∂y\frac{\partial u}{\partial y}、∂v∂x\frac{\partial v}{\partial x} 和 ∂v∂y\frac{\partial v}{\partial y} 可以通过雅可比行列式求得。 假设 DD 是上面的 J(u,v)J_{(u, v)} 的行列式：

D=∣∂F∂u∂F∂v∂G∂u∂G∂v∣ D = \begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v} \end{vmatrix}

利用克拉默法则，我们可以得到：

∂u∂x=−1D∣∂F∂x∂F∂v∂G∂x∂G∂v∣ \frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{1}{D} \begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial x} & \frac{\partial G}{\partial v} \end{vmatrix}

∂u∂y=−1D∣∂F∂y∂F∂v∂G∂y∂G∂v∣ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{D} \begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial y} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial y} & \frac{\partial G}{\partial v} \end{vmatrix}

∂v∂x=1D∣∂F∂u∂F∂x∂G∂u∂G∂x∣ \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{1}{D} \begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial x} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial x} \end{vmatrix}

∂v∂y=1D∣∂F∂u∂F∂y∂G∂u∂G∂y∣ \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{1}{D} \begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial y} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial y} \end{vmatrix}

示例

假设我们有具体的函数 FF 和 GG：

F(x,y,u,v)=u2+v2−x2−y2 F(x, y, u, v) = u^2 + v^2 - x^2 - y^2

G(x,y,u,v)=uv−xy G(x, y, u, v) = uv - xy

我们可以计算雅可比矩阵及其相关的行列式，然后利用上面的公式来计算所需的偏导数。

雅可比矩阵计算

J(F,G)=[−2x−2y2u2v−y−xvu] J_{(F, G)} = \begin{bmatrix} -2x & -2y & 2u & 2v \\ -y & -x & v & u \end{bmatrix}

子矩阵 J(u,v)J_{(u, v)} 是：

J(u,v)=[2u2vvu] J_{(u, v)} = \begin{bmatrix} 2u & 2v \\ v & u \end{bmatrix}

其行列式 DD 为：

D=∣2u2vvu∣=2u⋅u−2v⋅v=2u2−2v2=2(u2−v2) D = \begin{vmatrix} 2u & 2v \\ v & u \end{vmatrix} = 2u \cdot u - 2v \cdot v = 2u^2 - 2v^2 = 2(u^2 - v^2)