多元函数的极限

学习导语

多元函数的极限在多元函数的定义的基础上, 引入极限的思想, 说明函数值在高维空间中是否会趋向某一固定数值.

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问题

单变量极限研究 $x \to x_0$ 时 $f(x)$ 的变化趋势.
当变量扩展到 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 时, 问题变为:

当一个点在 $n$ 维空间中无限接近 $\mathbf{x}_0$ 时, 函数值是否趋于同一个数？

这就是多元极限的基本问题: 方向不同, 结果是否一致？

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定义

%%(ε-δ定义)%%
设 $f:D\subseteq\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$，$\mathbf{x}_0$ 是 $D$ 的聚点。若存在实数 $A$,
对任意 $\varepsilon>0$, 都存在 $\delta>0$,
使得当

$$0<\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\|<\delta,\quad \mathbf{x}\in D$$

时有

$$|f(\mathbf{x})-A|<\varepsilon$$

则称当 $\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0$ 时, 函数 $f(\mathbf{x})$ 的极限存在, 记作:

$$\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})=A$$

此定义直接继承自n维空间的度量结构, 是"邻域" 概念的应用.

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几何解释

在二维情形 $f(x,y)$ 中, 自变量是平面上的点.
我们令 $(x,y)$ 从不同方向靠近 $(x_0,y_0)$:

• 若对定义域内任意趋近点的方式都有统一的 $\varepsilon$–$\delta$ 控制，则极限存在；仅检验各条直线方向不足以证明;
• 若不同方向上极限不同, 则极限不存在.
  换言之, 多元极限要求方向无关性.
  一元极限有"左极限" "右极限" ; 而多元极限要面对无穷多条逼近路径.

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计算

1. 路径法 (必要条件)

若极限存在, 则沿任意路径逼近该点的极限必须相同.
若两条路径给出不同结果, 则极限不存在.
示例:

$$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$$

沿 $y=x$ 得 $\frac{1}{2}$, 沿 $y=-x$ 得 $-\frac{1}{2}$.
结果不相同, 则极限不存在.

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2. 极坐标法 (充分判定的常用工具)

当 $f(x,y)$ 在原点附近定义时, 可令

$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta$$

若

$$f(r,\theta)\to A \quad (r\to0)$$

且收敛对所有允许角度 $\theta$ 一致，即 $\sup_\theta|f(r,\theta)-A|\to0$, 则多元极限存在且等于 $A$.
示例:

$$f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}=r\cos^2\theta\sin\theta \to 0$$

由 $|r\cos^2\theta\sin\theta|\le r$ 一致夹逼，极限存在且为 0.

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3. 夹逼准则

若存在函数 $g,h$ 满足

$$g(\mathbf{x})\le f(\mathbf{x})\le h(\mathbf{x})$$

且

$$\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}g(\mathbf{x}) =\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}h(\mathbf{x})=A$$

则

$$\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})=A$$

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性质

1. 唯一性: 若极限存在, 则唯一.
2. 局部有界性: 若极限存在, 则函数在该点附近必有界.
3. 四则运算:
   若 $\lim f=A$, $\lim g=B$, 则

   $$\lim(f\pm g)=A\pm B,\quad \lim(fg)=AB,\quad \lim\frac{f}{g}=\frac{A}{B}\ (B\ne0)$$

4. 复合极限：若 $f(\mathbf{x})\to\mathbf a$ 且 $g$ 在 $\mathbf a$ 连续，则 $g(f(\mathbf{x}))\to g(\mathbf a)$。若只知道 $\lim_{\mathbf y\to\mathbf a}g(\mathbf y)=b$，还须保证 $f(\mathbf{x})\ne\mathbf a$ 在去心邻域内成立，或补充 $g(\mathbf a)=b$。

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例题

例 1

$$f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}$$

化极坐标得

$$f=r\cos^2\theta\sin\theta$$

当 $r\to0$, $f\to0$, 由 $|r\cos^2\theta\sin\theta|\le r$ 一致夹逼，极限存在且为 0.

例 2

$$f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$$

沿 $x=0$ 得 $-1$, 沿 $y=0$ 得 $1$, 极限不同 → 不存在.

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小结

多元函数极限的本质是"任意方向趋近时的稳定性" .
它是连续性与可微性的前提条件.
极限存在本身不推出连续、光滑或可导；后续结论必须另外检查函数值与可微性条件。