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偏导数

Cyletix夜幕下的启明星数学

定义

设z=f(x,y)z=f(x,y)在(x0,y0)(x_{0},y_{0})的某个邻域内有定义，当yy固定在y0y_{0}，而xx在x0x_{0}处有增量Δx\Delta x，相应的函数增量 为:f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)f(x_{0}+\Delta x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})，若以下极限存在且有限：

lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δx\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{\Delta x}

则称此极限为z=f(x,y)z =f(x,y)在点(x0,y0)(x_{0},y_{0})处对xx的偏导数。记作:

∂z∂x∣x=x0,y=y0\frac{\partial z}{\partial x}|_{x=x_{0},y=y_{0}}

∂f∂x∣x=x0,y=y0\frac{\partial f}{\partial x}|_{x=x_{0},y=y_{0}}

zx∣x=x0,y=y0z_{x}|_{x=x_{0},y=y_{0}}

fx(x0,y0)f_{x}(x_{0},y_{0})

  • 对 x 的偏导数

fx(x0,y0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δxf_{x}(x_{0},y_{0})=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{\Delta x}

  • 对 y 的偏导数

fy(x0,y0)=lim⁡Δy→0f(x0,y0+Δy)−f(x0,y0)Δyf_{y}(x_{0},y_{0})=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(x_{0},y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},y_{0})}{\Delta y}

  • 几何意义: 固定其他坐标后所得截面曲线的切线斜率。

计算方法

分别对每个自变量求偏导函数，其他自变量视为常数。

偏导函数定义

若z=f(x,y)z=f(x,y)在DD内每一个点(x,y)(x,y)处对xx的偏导数都存在 ，则这个偏导函数就是x,yx,y的函数，其就称为z=f(x,y)z=f(x,y)对自变量xx的偏导函数 （一点处的值称为偏导数；各点的偏导数组成偏导函数）, 记作

∂z∂x,∂f∂x,fx(x,y)\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial x},f_{x}(x,y)

高阶偏导函数

对于二元函数z=f(x,y)z=f(x,y)，根据求导方向和顺序不同，有四个按求导次序区分的二阶偏导数；这里没有“正交”的含义

(1)∂∂x(∂z∂x)=fxx(x,y)(1)\quad\dfrac{\partial}{\partial x}(\dfrac{\partial z}{\partial x})=f_{xx}(x,y)

(2)∂∂y(∂z∂x)=fxy(x,y)(2)\quad\dfrac{\partial}{\partial y}(\dfrac{\partial z}{\partial x})=f_{xy}(x,y)

(3)∂∂x(∂z∂y)=fyx(x,y)(3)\quad\dfrac{\partial}{\partial x}(\dfrac{\partial z}{\partial y})=f_{yx}(x,y)

(4)∂∂y(∂z∂y)=fyy(x,y)(4)\quad\dfrac{\partial}{\partial y}(\dfrac{\partial z}{\partial y})=f_{yy}(x,y)

其中(2),(3)分别先对一个变量、再对另一个变量求导, 称为混合偏导函数
二阶及以上阶数的偏导函数统称为高阶偏导函数

定理

如果多元函数z=f(x,y)z=f(x,y) 的两个二阶混合偏导数在定义区域DD连续,则两者相等，见 Schwarz 定理。更高阶交换次序须另外满足相应阶数的连续性条件

在某些情况下，使用海塞矩阵表示四个偏导函数的作用
海塞矩阵

应用

  • 在最优化问题中，通过偏导函数找到函数的极值点。
  • 在物理学、经济学等领域，偏导函数用于分析多变量问题。
  • 根据偏导数可以定义拉普拉斯方程
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