隐函数定理

隐函数定理

对于一个由关系

$$f(x, y) = 0$$

表示的隐函数，若 $f$ 在 $(a,b)$ 的开邻域内连续可微，$f(a,b)=0$ 且 $f_y(a,b)\ne0$，则在该点足够小的邻域内，方程唯一确定一个连续可微的显函数：\

$$y = h(x)$$

这样就将隐函数关系转化为常见的函数关系形式。

此处 $h(a)=b$，且

$$h'(x)=-\frac{f_x(x,h(x))}{f_y(x,h(x))}.$$

由链式法则对 $f(x,h(x))=0$ 求导即可得到该式。条件只保证局部存在与唯一，不保证全局能用单个函数表示。

例如 $x^2+y^2=1$ 在 $(0,1)$ 附近给出 $y=\sqrt{1-x^2}$，但整圆并不是单个 $y=h(x)$ 的图像。在 $(1,0)$ 处 $f_y=0$，本定理不能据此解出光滑的 $y(x)$，却可由 $f_x\ne0$ 解出 $x(y)$。

对方程组 $F(x,y)=0$，若 $F:\mathbb R^{n+m}\to\mathbb R^m$ 在解点附近为 $C^1$，且关于 $y$ 的雅可比矩阵 $D_yF$ 在该点可逆，则局部存在唯一 $C^1$ 函数 $y=h(x)$，并有

$$Dh(x)=-[D_yF(x,h(x))]^{-1}D_xF(x,h(x)).$$

计算应用见多元隐函数求导，可逆映射的对应结论见反函数定理。