n维空间

简介

$n$ 维空间是多元函数的定义域所在集合, 可视为实数域上的线性空间 $\mathbb{R}^n$ 的几何模型.
分析学在此基础上引入距离, 邻域, 极限, 连续等概念, 以研究函数的变化规律.

定义

$$\mathbb{R}^n = \{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\mid x_i\in\mathbb{R}\}$$

其中每个点既可看作向量, 也可看作空间中的坐标位置.
线性运算 (加法与数乘) 由线性空间的公理保证.

度量结构

距离

任意两点 $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$, $\mathbf{y}=(y_1,\ldots,y_n)$ 的距离定义为

$$\rho(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}$$

该度量使 $\mathbb{R}^n$ 成为欧几里得空间.

邻域

点 $\mathbf{x}_0$ 的 $\delta$-邻域:

$$U_\delta(\mathbf{x}_0)=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\mid\rho(\mathbf{x},\mathbf{x}_0)<\delta\}$$

若集合中每个点都存在一个邻域完全包含于集合内, 则该集合为开集.

集合类型

• 内点: 存在邻域完全属于集合.
• 边界点: 任意邻域内既有属于集合的点也有不属于集合的点.
• 闭集: 包含所有极限点的集合.
• 有界集: 存在 $M>0$ 使得 $\|\mathbf{x}\|<M$ 对所有 $\mathbf{x}\in D$ 成立.

几何直观

当 $n=2$ 时为平面;
当 $n=3$ 时为空间;
更高维仅是抽象延伸, 但其拓扑性质与三维情形完全一致.
在后续内容中, 多元函数 $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 的极限与连续性都以此度量结构为基础.