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偏导数定义

Cyletix夜幕下的启明星大约 2 分钟

偏导数定义

设z=f(x,y)z=f(x,y)在(x0,y0)(x_{0},y_{0})的某个邻域内有定义，当yy固定在y0y_{0}，而xx在x0x_{0}处有增量Δx\Delta x，相应的函数增量 为:f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)f(x_{0}+\Delta x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})，若

lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δx \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{\Delta x}

则称此极限为z=f(x,y)z =f(x,y)在点(x0,y0)(x_{0},y_{0})处对xx的偏导函数。记作:

∂z∂x∣x=x0,y=y0 \frac{\partial z}{\partial x}|_{x=x_{0},y=y_{0}}

∂f∂x∣x=x0y=y0 \frac{\partial f}{\partial x}|_{x=x_{0}y=y_{0}}

zx∣x=x0,y=y0 z x|_{x=x_{0},y=y_{0}}

fx(x0,y0) f_{x}(x_{0},y_{0})

  • 对x的偏导函数

fx′(x0,y0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δx f^{'}_{x}(x_{0},y_{0})=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{\Delta x}

  • 对y的偏导函数

fy′(x0,y0)=lim⁡Δy→0f(x0,y0+Δy)−f(x0,y0)Δy f^{'}_{y}(x_{0},y_{0})=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(x_{0},y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},y_{0})}{\Delta y}

  • 几何意义: 多元函数在某一坐标轴上的切线斜率。

计算方法

分别对每个自变量求偏导函数，其他自变量视为常数。

偏导函数定义

若z=f(x,y)z=f(x,y)在DD内每一个点(x,y)(x,y)处对xx的偏导函数都存在 ，则这个偏导函数就是x,yx,y的函数，其就称为δ=f(x,y)\delta=f(x,y)对自变量xx的偏导函数 (偏导数, 根据导数定义中提到的语义污染, 为了不产生歧义, 本章节使用偏导函数表示), 记作

∂z∂x,∂f∂x,fx(x,y) \frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial x},f_{x}(x,y)

高阶偏导函数

对于二元函数z=f(x,y)z=f(x,y)，根据求导方向和顺序不同，有一组四个正交的二阶偏导函数

(1)∂∂x(∂2z∂x2)=fxx(x,y) (1)\quad\dfrac{\partial}{\partial x}(\dfrac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}})=f_{xx}(x,y)

(2)∂∂y(∂2z∂x2)=fxy(x,y) (2)\quad\dfrac{\partial}{\partial y}(\dfrac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}})=f_{xy}(x,y)

(3)∂∂x(∂2z∂y2)=fyx(x,y) (3)\quad\dfrac{\partial}{\partial x}(\dfrac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}})=f_{yx}(x,y)

(4)∂∂y(∂2z∂y2)=fyy(x,y) (4)\quad\dfrac{\partial}{\partial y}(\dfrac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}})=f_{yy}(x,y)

其中(2),(3)分别对不同基底求导, 称为混合偏导函数 二阶及以上阶数的偏导函数统称为高阶偏导函数

定理

如果多元函数z=f(x,y)z=f(x,y) 的两个二阶混合偏导数在定义区域DD连续,则两者必定相等, 高阶混合偏导函数与求导次序无关

在某些情况下，使用海塞矩阵表示四个偏导函数的作用 海塞矩阵

应用

  • 在最优化问题中，通过偏导函数找到函数的极值点。
  • 在物理学、经济学等领域，偏导函数用于分析多变量问题。
  • 根据偏导数可以定义拉普拉斯方程