平面点集

平面上任意一点可由有序数对 $(x, y)$ 表示。
所有点的集合称为平面点集。它是多元函数研究的几何基础。

定义

若集合 $D\subseteq \mathbb{R}^2$，其中的每个元素都是一个有序对 $(x,y)$，则称 $D$ 为平面点集。

示例

• 矩形区域：$\{(x,y)\mid a<x<b,\ c<y<d\}$
• 圆形区域：$\{(x,y)\mid x^2+y^2<r^2\}$
• 闭区域：包含边界的点集，如 $\{(x,y)\mid x^2+y^2\le r^2\}$

邻域与边界点

• 邻域：点 $(x_0,y_0)$ 的邻域为

  $$U_\delta(x_0,y_0)=\{(x,y)\mid \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta\}$$

• 内点：若点的邻域完全包含于集合中。
• 边界点：其任意邻域与集合内外均有交点。