全微分

预备知识

全增量

$$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$$

偏增量

• f关于x的偏增量

$$f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$$

• f关于y的偏增量

$$f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$$

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定义

设函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的某邻域内有定义, 如果函数在点的全增量

$$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$$

可表示为

$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho),\qquad\rho\to0$$

其中A,B不依赖于$\Delta x$, $\Delta y$ 而仅与x, y 有关
$\rho=\sqrt{ \Delta x^{2}+\Delta y^{2} }$
其中余项 $o(\rho)$ 除以 $\rho$ 后趋于零，且不依赖于趋近方向。则函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$可微分,
$A\Delta x+B\Delta y$ 称为全微分

定理1(必要条件)

如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$可微分, 则该函数在点$(x,y)$的偏导数必定存在, 且函数在点的全微分为:

$$dz=\dfrac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\dfrac{\partial z}{\partial y}\Delta y$$

定理2(充分条件)

若函数 $z=f(x,y)$ 在该点的某邻域内存在各一阶偏导数，且这些偏导数在该点连续, 则函数在该点可微

叠加原理

在全微分存在的前提下，$dz=f_x\,dx+f_y\,dy$。仅有偏导数存在不足以保证可微：令 $f(x,y)=xy/\sqrt{x^2+y^2}$（原点取零），原点的两个偏导数均为零，但沿 $y=x$ 有 $f(x,x)/\sqrt{2x^2}=1/2$，不满足余项为 $o(\rho)$。