反函数定理

局部反函数

设 $U\subseteq\mathbb R^n$ 为开集，$f:U\to\mathbb R^n$ 连续可微，$a\in U$，且雅可比矩阵 $Df(a)$ 可逆。则存在 $a$ 与 $f(a)$ 的开邻域 $V,W$，使 $f:V\to W$ 为双射，反函数 $g:W\to V$ 连续可微，并满足

$$Dg(y)=[Df(g(y))]^{-1}.$$

导数公式由 $f(g(y))=y$ 的链式法则得到。存在性结论也可通过对 $F(x,y)=f(x)-y$ 应用隐函数定理得到。

条件的含义

结论是局部的。映射 $f(x,y)=(e^x\cos y,e^x\sin y)$ 的雅可比行列式恒为 $e^{2x}>0$，但 $y$ 的周期性使它在整个平面上并非单射。

导数可逆是获得 $C^1$ 局部反函数的条件；它不是一般连续反函数存在的必要条件。例如 $f(x)=x^3$ 在零点导数为零，却有连续反函数 $g(y)=\sqrt[3]{y}$，只是 $g$ 在零点不可微。