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定理陈述

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对于大多数常见函数，混合偏导数是相等的。这由 Schwarz 定理（Schwarz's theorem）或称 Clairaut 定理（Clairaut's theorem）所保证。该定理表明，如果一个函数的混合偏导数在一个点及其附近连续，那么这两个混合偏导数是相等的。

定理陈述

设 ff 是定义在开集 U⊂R2U \subset \mathbb{R}^2 上的二次连续可导函数，即函数 ff 具有连续的二阶偏导数。则对于 UU 中的任意点 (x,y)(x, y)，有：

∂2f∂x∂y=∂2f∂y∂x \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}

示例

对于给定的函数 f(x,y)=x4−4xy+2y2f(x,y) = x^4 - 4xy + 2y^2，我们已经计算了以下偏导数： 一阶偏导数：

fx=∂f∂x=4x3−4y f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 4x^3 - 4y

fy=∂f∂y=−4x+4y f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -4x + 4y

二阶偏导数：

fxx=∂2f∂x2=12x2 f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 12x^2

fyy=∂2f∂y2=4 f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 4

fxy=∂2f∂x∂y=∂∂y(4x3−4y)=−4 f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(4x^3 - 4y) = -4

fyx=∂2f∂y∂x=∂∂x(−4x+4y)=−4 f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-4x + 4y) = -4

我们可以看到，混合偏导数 fxyf_{xy} 和 fyxf_{yx} 是相等的，即：

∂2f∂x∂y=∂2f∂y∂x=−4 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = -4

例外情况

在某些特殊情况下，如果函数的二阶偏导数不连续或不存在，Schwarz 定理可能不适用。在这些情况下，混合偏导数可能不相等。不过，在实数域内的多数实际应用中，函数通常满足所需的条件，因此混合偏导数相等。