$f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处的切平面方程可以表示为：

$$z = a(x - x_0) + b(y - y_0) + z_0$$

主要思想

切平面首先是个空间平面，使用法向量与平面内的增量向量做内积＝0来定义

法向量

$\vec{n}=(a,b,-1)$ 是曲面在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处的法向量。向量 $\vec{n}$ 的分量 $a$ 和 $b$ 可以通过函数 $f(x, y)$ 的偏导数计算得到，即：

$$a = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0), \quad b = \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)$$

此处的常数项 $z_0 = f(x_0, y_0)$ 表示曲面在 $(x_0, y_0)$ 处的高度。

增量向量

$\Delta \vec{r} = (x-x_0, y-y_0, z-z_0)$ 表示从点 $(x_0, y_0, z_0)$ 出发的一个无穷小增量，同时也是位于平面（或曲面）上的一个向量。

计算内积

因此，切平面方程可以定义为：

$$\Delta\vec{r}\cdot \vec{n}=a(x - x_0) + b(y - y_0) +(-1)(z-z_0)=0$$

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步骤

1. 确定点的坐标 假设要求切平面的位置是 $(x_0, y_0)$.
2. 计算偏导数 计算 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处的偏导数 $f_x(x_0, y_0)$ 和 $f_y(x_0, y_0)$.
   • $f_x$ 表示 $f$ 对 $x$ 的偏导数, 即 $f_x = \frac{\partial f}{\partial x}$
   • $f_y$ 表示 $f$ 对 $y$ 的偏导数, 即 $f_y = \frac{\partial f}{\partial y}$
3. 计算函数值 计算 $f$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处的函数值 $f(x_0, y_0)$.
4. 写出切平面方程 利用上述计算结果, 切平面方程可以写成以下形式:

$$z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$$

这正好是二元泰勒公式的一阶展开, 即使用一次空间曲面逼近曲面$f(x_0, y_0)$, 不同的是增量$x_0$, $y_0$必须趋近于0

推导

因为切平面要通过点 $(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$, 所以:

$$f(x_0, y_0) = a(x_0 - x_0) + b(y_0 - y_0) + c \Rightarrow c = f(x_0, y_0)$$

即平面方程变为:

$$z = a(x - x_0) + b(y - y_0) + f(x_0, y_0)$$

为了使得此平面在点 $(x_0, y_0)$ 处与曲面 $z = f(x, y)$ 相切, 要求平面的斜率与曲面在该点的斜率一致, 即偏导数相等:

$$a = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0)$$

$$= \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = f_y(x_0, y_0)$$

因此, 最终的切平面方程为:

$$z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$$

示例

假设 $f(x, y) = x^2 + y^2$, 求在点 $(1, 2)$ 处的切平面.

1. 计算函数值:

$$f(1, 2) = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$$

2. 计算偏导数:
   • $f_x(x, y) = 2x \Rightarrow f_x(1, 2) = 2 \cdot 1 = 2$
   • $f_y(x, y) = 2y \Rightarrow f_y(1, 2) = 2 \cdot 2 = 4$
3. 写出切平面方程:

$$z = 5 + 2(x - 1) + 4(y - 2)$$

简化后得到:

$$z = 2x + 4y - 5$$

这就是 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 在点 $(1, 2)$ 处的切平面方程.