内积空间

内积空间是增添了内积运算的向量空间，它推广了原来欧几里德空间的点积，而从比较一般的角度看待向量的“夹角”、“长度”还有正交性。

内积空间有时也叫做准希尔伯特空间（pre-Hilbert space），因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。

在早期的著作中，本条目所定义的内积空间被称作酉空间，但这些著作里的“内积空间”反而指的是有限维欧几里德空间或可数维的Lp空间的定义。

内积公理

实向量空间 $V$ 上的内积 $\langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\mathbb R$ 满足：

• 对称性：$\langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle$。
• 线性性：$\langle au+bv,w\rangle=a\langle u,w\rangle+b\langle v,w\rangle$。
• 正定性：$\langle v,v\rangle\ge0$，等号当且仅当 $v=0$。

由此定义 $\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}$ 和正交关系 $\langle u,v\rangle=0$，支撑正交投影与施密特正交化。例如 $\mathbb R^n$ 的点积是 $u^Tv$，更一般的加权内积为 $u^TGv$，其中 $G$ 实对称正定。

复空间中改为共轭对称与半双线性。若采用矩阵计算常用约定 $\langle u,v\rangle=u^*v$，则第一变量共轭线性、第二变量线性，投影到单位向量 $e$ 的系数为 $\langle e,v\rangle$。另一种约定把线性放在第一变量；两种约定都可用，但复投影公式必须随之调整，不能原样套用实点积式。

柯西–施瓦茨不等式 $|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\|v\|$ 可由 $\|u-tv\|^2\ge0$（选择使其最小的标量 $t$）得到，进而推出诱导范数的三角不等式，见范数。