基变换

Introduction

基变换是指在向量空间中，从一个基变换到另一个基的过程。

Definition

给定两个基 $B=\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$ 和 $B'=\{e'_1, e'_2, \ldots, e'_n\}$，同一向量在这两个基下会有不同的坐标表示。基变换矩阵用于把一种坐标表示转换成另一种坐标表示。

若把新基向量在旧基 $B$ 下的坐标按列排成矩阵

$$P = \bigl([e'_1]_B,[e'_2]_B,\ldots,[e'_n]_B\bigr),$$

则对任意向量 $v$ 有

$$[v]_B = P[v]_{B'},\qquad [v]_{B'} = P^{-1}[v]_B.$$

Properties

• 可逆性：基变换矩阵一定可逆，因为两组基都由线性无关向量组成。
• 本质：基变换改变的是同一向量的坐标，不是向量本身。

Examples

• 若 $\{e_1, e_2\}$ 是二维空间的标准基，$\{e'_1, e'_2\}$ 是另一组基，变换矩阵 $T$ 可以将向量在标准基下的坐标变换到新基下。

Applications

基变换在图形学、工程学和物理学中广泛应用。例如，计算机图形学中常使用基变换来进行坐标系的转换和图像的旋转。