Introduction

基变换是指在向量空间中，从一个基变换到另一个基的过程。

Definition

给定两个基 $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$ 和 $\{e'_1, e'_2, \ldots, e'_n\}$，任何向量 $v$ 在这两个基下的表示可以通过基变换矩阵 $T$ 相互转换。若 $v$ 在旧基下的表示为 $[v]_B$，在新基下的表示为 $[v]_{B'}$，则有

$$[v]_{B'} = T [v]_B$$

Properties

• 线性性：基变换是线性的，即变换矩阵 $T$ 为一个线性映射。
• 可逆性：若基变换矩阵 $T$ 可逆，则存在逆变换 $T^{-1}$。

Examples

• 若 $\{e_1, e_2\}$ 是二维空间的标准基，$\{e'_1, e'_2\}$ 是另一组基，变换矩阵 $T$ 可以将向量在标准基下的坐标变换到新基下。

Applications

基变换在图形学、工程学和物理学中广泛应用。例如，计算机图形学中常使用基变换来进行坐标系的转换和图像的旋转。