表示矩阵

简介

表示矩阵把抽象线性变换转化为具体矩阵
设 $f: V \to W$ 是线性变换，$B=\{v_1,\dots,v_n\}$、$C=\{w_1,\dots,w_m\}$ 分别是 $V$、$W$ 的基，
则 $f$ 在基底 $B,C$ 下的表示矩阵 $[f]_{B\to C}$ 的第 $j$ 列是 $f(v_j)$ 在基底 $C$ 下的坐标。
于是 $f(x)$ 在 $C$ 下的坐标等于 $[f]_{B\to C}$ 乘以 $x$ 在 $B$ 下的坐标；

性质

一般 $f:V\to W$ 的输入、输出可以分别换基。若 $A=[f]_{B\to C}$，输入新基坐标满足 $[x]_B=P[x]_{B'}$，输出满足 $[y]_C=Q[y]_{C'}$，则

$$[f]_{B'\to C'}=Q^{-1}AP.$$

只有在 $V=W$、同一线性算子使用同一组基同时表示输入和输出时，$Q=P$，才得到相似矩阵 $A'=P^{-1}AP$。一般矩形表示矩阵不能谈相似。

例如 $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$，$f(x_1,x_2)=x_1+2x_2$，旧基均为标准基。输入换成 $(1,1)^T,(1,-1)^T$，输出基换成实数 $2$，则 $A=[1\ 2]$、$Q=[2]$，从而 $A'=\frac12[1\ 2]\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}=[3/2\ {-1/2}]$。对输入新坐标 $(2,1)^T$，输出新坐标为 $5/2$，实际输出为 $2\cdot5/2=5$，与 $f(3,1)=5$ 一致。