在数学里，希尔伯特空间即完备的内积空间，也就是一个带有内积的完备向量空间。内积的构造推广了欧几里得空间的距离和角的概念；完备则确保了其上所有的柯西序列会收敛到此空间里的一点，从而微积分中的许多概念都可以推广到希尔伯特空间中。

希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的[[傅立叶级数]]和[[傅立叶变换]]提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。另外希尔伯特空间也是量子力学的重要数学基础之一。

傅立叶分析的一个重要目的是将一个给定的函数表示成一族给定的基底函数的和（可能是无穷和）。 这个问题可以在希尔伯特空间中更抽象地描述为：任何一个希尔伯特空间都有一族标准正交基，而且每个希尔伯特空间中的元素都可以唯一地表示为这族基底中的元素或其倍数的和

定义和基本性质

1. 完备性： 希尔伯特空间是一个完备的内积空间，即在该空间中的任意柯西列（Cauchy列）都收敛于该空间中的某个点。这使得它在数学上是“完备”的，适合分析问题。

2. 内积结构： 希尔伯特空间配备了一个内积，定义为：

   $$\langle x, y \rangle : H \times H \to \mathbb{C} \quad (\text{或 } \mathbb{R})$$

   内积允许定义向量的长度（范数）和角度（正交性）。

3. 无穷维和有限维： 希尔伯特空间可以是有限维或无穷维。在有限维情况下，它等价于欧几里得空间；在无穷维情况下，它是处理函数空间的核心工具。

4. 正交分解： 任何希尔伯特空间中的元素可以被分解到一组正交基中，这类似于欧几里得空间中的正交分解，但在无穷维时，需要用正交集扩展。

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与状态转移矩阵的联系

1. 矩阵和算子的表示： 在希尔伯特空间中，线性算子（如转移概率矩阵）通常被用来描述从一个状态到另一个状态的映射。状态转移矩阵可以看作是作用在有限维希尔伯特空间（如 $\mathbb{R}^n$ 或 $\mathbb{C}^n$）上的一个线性算子。

2. 概率解释： 如果把状态表示为向量（如 $|\psi\rangle$），转移矩阵可以看作是一个线性算子 $A$，在希尔伯特空间中作用为：

   $$|\psi_{\text{next}}\rangle = A |\psi\rangle$$

   这种框架与量子力学中的状态转移非常类似，只不过概率转移矩阵对应的是经典马尔可夫链，而量子力学中涉及幺正矩阵。

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重要性质和联系

1. 傅里叶变换： 希尔伯特空间的完备性和正交基允许傅里叶变换在函数空间中得到自然的定义，这在信号处理和量子力学中至关重要。

2. 谱理论： 在希尔伯特空间中，可以通过谱分解分析线性算子的性质，特别是自伴算子的谱（即特征值）是实数，幺正算子的谱在单位圆上。这为研究转移矩阵和马尔可夫链的长期行为提供了理论基础。

3. 量子力学： 在量子力学中，希尔伯特空间是描述系统态空间的核心数学工具，系统的状态是希尔伯特空间中的向量，观测量是空间中的自伴算子。

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小结

希尔伯特空间之所以重要，是因为它结合了代数和分析的特性，适用于描述离散和连续系统。它的核心概念如内积、正交分解、谱理论等与矩阵、算子密切相关，使其成为研究线性系统（包括状态转移矩阵）不可或缺的工具。