两个向量独立（线性无关）指的是这两个向量之间不存在非零的线性组合使其等于零向量。具体来说，设有两个向量 $\mathbf{v}_1$ 和 $\mathbf{v}_2$，它们线性独立的定义如下：

如果存在一组唯一的标量 $c_1$ 和 $c_2$ 使得：

$$c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 = \mathbf{0}$$

仅当 $c_1 = 0$ 且 $c_2 = 0$ 时，称 $\mathbf{v}_1$ 和 $\mathbf{v}_2$ 是线性独立的。

换句话说，如果 $\mathbf{v}_1$ 和 $\mathbf{v}_2$ 线性独立，则没有任何一个向量可以表示为另一个向量的数倍。

线性独立的具体解释

设 $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} v_{11} \\ v_{12} \end{bmatrix}$ 和 $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} v_{21} \\ v_{22} \end{bmatrix}$。这两个向量线性独立意味着对于方程

$$c_1 \begin{bmatrix} v_{11} \\ v_{12} \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} v_{21} \\ v_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

唯一的解是 $c_1 = 0$ 且 $c_2 = 0$。

线性独立的矩阵表示

在线性代数中，检查两个向量是否线性独立的一种常用方法是将它们组成一个矩阵，然后计算其行列式。如果行列式不为零，则这两个向量线性独立。具体来说，对于向量 $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ 和 $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$，它们的矩阵表示为：

$$A = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}$$

行列式 $\det(A)$ 计算如下：

$$\det(A) = ad - bc$$

如果 $\det(A) \neq 0$，则 $\mathbf{v}_1$ 和 $\mathbf{v}_2$ 线性独立。如果 $\det(A) = 0$，则它们线性相关（即线性依赖）。

举例说明

考虑向量 $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ 和 $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix}$。它们的矩阵表示为：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$$

行列式 $\det(A)$ 计算如下：

$$\det(A) = 1 \cdot 6 - 3 \cdot 2 = 6 - 6 = 0$$

因为 $\det(A) = 0$，所以 $\mathbf{v}_1$ 和 $\mathbf{v}_2$ 线性相关。

再考虑向量 $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ 和 $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix}$。它们的矩阵表示为：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$$

行列式 $\det(A)$ 计算如下：

$$\det(A) = 1 \cdot 5 - 3 \cdot 2 = 5 - 6 = -1$$

因为 $\det(A) \neq 0$，所以 $\mathbf{v}_1$ 和 $\mathbf{v}_2$ 线性独立。

总结来说，两个向量线性独立意味着它们之间不存在非零的线性组合使其等于零向量，这在矩阵行列式的计算中表现为非零的行列式。

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两个以上的情况

线性独立的概念不仅适用于两个向量，也适用于多个向量。对于一组向量 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\}$，它们线性独立的定义如下：

这组向量线性独立，当且仅当存在唯一的一组标量 $c_1, c_2, \ldots, c_n$ 使得：

$$c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}$$

唯一的解是 $c_1 = 0, c_2 = 0, \ldots, c_n = 0$。

换句话说，如果对于上述方程，只有零解存在，则这组向量是线性独立的；否则，这组向量是线性相关的。

线性独立的矩阵表示

对于一组向量 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\}$，我们可以将它们作为矩阵 $A$ 的列向量或行向量，然后通过检查矩阵的秩来确定它们是否线性独立。具体来说：

1. 如果 $A$ 的列向量是 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n$，则 $A$ 的秩等于列向量的个数，意味着这组向量是线性独立的。
2. 如果 $A$ 的行向量是 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n$，则 $A$ 的秩等于行向量的个数，意味着这组向量是线性独立的。

线性独立性的例子

假设我们有三个向量 $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$，$\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}$ 和 $\mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{bmatrix}$。

将它们作为列向量组成矩阵 $A$：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$$

为了检查这组向量是否线性独立，我们计算矩阵 $A$ 的行列式（如果是方阵）或其秩。

1. 计算行列式：

$$\det(A) = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 4 \cdot (2 \cdot 9 - 3 \cdot 8) + 7 \cdot (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5)$$

$$= 1 \cdot (45 - 48) - 4 \cdot (18 - 24) + 7 \cdot (12 - 15)$$

$$= 1 \cdot (-3) - 4 \cdot (-6) + 7 \cdot (-3)$$

$$= -3 + 24 - 21$$

$$1 0$$

行列式为零，意味着这些向量是线性相关的。

2. 计算矩阵的秩： 使用行列变换，可以将矩阵化为行阶梯形矩阵（Row Echelon Form, REF）或行最简形矩阵（Reduced Row Echelon Form, RREF），来确定其秩。如果其秩小于向量的个数，则它们线性相关；否则，它们线性独立。

更复杂的例子

考虑向量 $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$，$\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 和 $\mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$。

将它们作为列向量组成矩阵 $A$：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

1. 计算行列式：

$$\det(A) = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - 0 \cdot (0 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + 0 \cdot (0 \cdot 0 - 1 \cdot 0)$$

$$= 1 \cdot 1 - 0 + 0$$

$$1 1$$

行列式不为零，意味着这些向量是线性独立的。

2. 计算矩阵的秩： 这个矩阵已经是行最简形矩阵，其秩为3，等于向量的个数，说明这些向量是线性独立的。

因此，线性独立的概念适用于任意数量的向量，通过行列式和秩的方法可以有效地检验它们是否线性独立。