旋转变换

在二维直角坐标系中，将列向量 $(x, y)$ 绕原点逆时针旋转 $\theta$ 的变换是左乘二维旋转矩阵 $R$：

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = R \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \qquad R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$$

三维空间

绕 x-轴的主动旋转

$$R_x(\theta_x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta_x & -\sin \theta_x \\ 0 & \sin \theta_x & \cos \theta_x \end{bmatrix} = \exp \left( \theta_x \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \right)$$

这里的 $\theta_x$ 是 roll 角，和右手螺旋的方向相反（在 yz 平面顺时针）。

绕 y-轴的主动旋转

$$R_y(\theta_y) = \begin{bmatrix} \cos \theta_y & 0 & \sin \theta_y \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \theta_y & 0 & \cos \theta_y \end{bmatrix} = \exp \left( \theta_y \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \right)$$

这里的 $\theta_y$ 是 pitch 角，和右手螺旋的方向相反（在 zx 平面顺时针）。

绕 z-轴的主动旋转

$$R_z(\theta_z) = \begin{bmatrix} \cos \theta_z & -\sin \theta_z & 0 \\ \sin \theta_z & \cos \theta_z & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \exp \left( \theta_z \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \right)$$

这里的 $\theta_z$ 是 yaw 角，和右手螺旋的方向相反（在 xy 平面顺时针）。