跳至主要內容

CyletixGPT-4大约 2 分钟

正交补空间（Orthogonal Complement）是线性代数和向量空间理论中的一个重要概念，主要用于描述向量空间中某个子空间相对于整个空间的正交关系。

定义

给定一个向量空间 VV 和它的一个子空间 WW，WW 的正交补空间 W⊥W^\perp 是 VV 中所有与 WW 中的每个向量都正交的向量构成的集合。用数学语言表达就是：

W⊥={v∈V:v⋅w=0,∀w∈W} W^\perp = \{ v \in V : v \cdot w = 0, \forall w \in W \}

这里的 ⋅\cdot 表示点积或内积，这取决于向量空间的具体定义。

性质

  1. 维数：如果 VV 是有限维的，并且其维数为 nn，子空间 WW 的维数为 kk，则 W⊥W^\perp 的维数为 n−kn - k。
  2. 直和分解：向量空间 VV 可以被分解为子空间 WW 和它的正交补 W⊥W^\perp 的直和，即 V=W⊕W⊥V = W \oplus W^\perp。
  3. 正交性：任何来自 WW 的向量与来自 W⊥W^\perp 的向量之间的内积都是零。

求解

求解向量空间 WW 的直交补空间 W⊥W^\perp 的基底时，我们需要找到所有与 WW 中的所有向量都正交的向量。一个向量 vv 与 WW 中的所有向量正交的条件是 v⋅w=0v \cdot w = 0 对于所有 w∈Ww \in W 都成立。

示例

对于给定的 W={[1101],[01−10]}W=\{\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}\}，我们可以通过以下步骤求解 W⊥W^\perp 的基底：

  1. 构建矩阵并转置：首先，将 WW 的向量作为矩阵的行，构建一个矩阵 AA 并求其转置，以方便计算。

A=[110101−10]T=[10110−110] A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}

  1. 求解齐次方程系统：解齐次线性方程系统 ATx=0A^T x = 0，其中 xx 是我们要找的正交向量。 这个系统可以表示为：

x1+x2+x4=0x2−x3=0 \begin{align*} x_1 + x_2 + x_4 &= 0 \\ x_2 - x_3 &= 0 \end{align*}

即：

x1+x2+x4=0x2=x3 x_1 + x_2 + x_4 = 0 \\ x_2 = x_3

  1. 参数化解决方案：通过选择自由变量来找到参数化的解。设 x2=tx_2 = t, x3=tx_3 = t, x4=sx_4 = s，则有：

x1+t+s=0⇒x1=−t−s x_1 + t + s = 0 \Rightarrow x_1 = -t - s

因此，解可以表示为：

x=[−t−stts]=t[−1110]+s[−1001] x = \begin{bmatrix} -t - s \\ t \\ t \\ s \\ \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}

因此，W⊥W^\perp 的一个基底是：

{[−1110],[−1001]} \left\{\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\right\}

这两个向量构成了 WW 的直交补空间的基底，因为它们都与 WW 中的向量正交，并且在 R4\mathbb{R}^4 中线性无关。