范数

在实欧氏空间中，向量的模长或长度表示它到原点的欧氏距离，对应二范数：

$$\left\|{\vec {v}}\right\|=\sqrt{ \sum_{i=1}^n v_{i}^2 }$$

一般线性空间上的范数是满足以下三条性质的实值函数，不必来自欧氏距离，也不限于有限维。

性质

• 非负性：$\|x\|\ge 0$，且 $\|x\|=0$ 当且仅当 $x=0$
• 绝对齐次性：$\|a x\|=|a|\|x\|$
• 三角不等式:

$$\left\|{\vec x + \vec y}\right\|\leq \left\|{\vec x}\right\| + \left\|{\vec y}\right\|$$

例如在 $\mathbb R^n$ 上，$\|x\|_1=\sum_i|x_i|$、$\|x\|_\infty=\max_i|x_i|$ 也都是范数；在 $\mathbb C^n$ 上，二范数应写成 $\|x\|_2=\sqrt{\sum_i|x_i|^2}$。由内积可诱导范数，但范数未必能诱导内积；一般的 $p$ 范数见Lp范数。