基指的是向量空间中的一个向量集合, 满足以下两个条件:

1. 线性独立: 基中的向量之间互相独立, 即没有任何一个向量可以表示为其他向量的线性组合. 用公式表示, 如果有向量集合$\{v_1, v_2, \dots, v_n\}$, 那么对于标量$c_1, c_2, \dots, c_n$, 如果

$$c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_n v_n = 0$$

仅当所有$c_i = 0$时成立, 则称这些向量是线性独立的. 2. 生成整个空间: 基中的向量集合可以通过线性组合生成整个向量空间中的任何向量. 这意味着, 对于向量空间中的任何向量$v$, 都存在一组标量$c_1, c_2, \dots, c_n$, 使得

$$v = c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_n v_n$$

这组基向量不仅描述了向量空间的“方向”, 还提供了一个坐标系统, 通过这个坐标系统, 空间中的每个向量都可以唯一地表示为基向量的线性组合. 例如, 在三维空间中, 常见的基是单位向量$\{e_1, e_2, e_3\}$, 其中$e_1 = (1,0,0)$, $e_2 = (0,1,0)$, $e_3 = (0,0,1)$. 这组基被称为标准基, 因为它简单且直观地描述了三维空间的三个互相垂直的方向. 基的概念在各种数学和工程应用中都非常重要, 它允许我们通过更换基来简化问题, 或更好地适应特定的问题需求.