格拉姆矩阵

给定实内积空间中的向量 $v_1,\ldots,v_n$，其格拉姆矩阵是一个对称的$n \times n$矩阵，定义为：

$$G = \begin{bmatrix} \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 & \cdots & \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_n \\ \mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{v}_2 & \cdots & \mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{v}_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{v}_n \cdot \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_n \cdot \mathbf{v}_2 & \cdots & \mathbf{v}_n \cdot \mathbf{v}_n \end{bmatrix}$$

若 $A=[v_1\ \cdots\ v_n]$ 的列用标准欧氏坐标表示，则 $G=A^TA$。因为

$$c^TGc=\|Ac\|^2\ge0,$$

$G$ 总是半正定矩阵，并且正定当且仅当这些列向量线性无关。该恒等式同时证明 $\ker G=\ker A$，是正规方程唯一解条件的基础。

复空间采用 $\langle u,v\rangle=u^*v$ 时，$G_{ij}=\langle v_i,v_j\rangle$、$G=A^*A$，此时为 Hermitian 半正定矩阵，应将转置替换为共轭转置。