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性质

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旋转矩阵是正交矩阵的一种特殊形式，用于描述二维平面上的旋转变换。

二维空间

在二维空间中，旋转可以用一个单一的角 θ\theta 定义。作为约定，正角表示逆时针旋转。把笛卡尔坐标的列向量关于原点逆时针旋转 θ\theta 的矩阵是:

R(θ)=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]=cos⁡θ[1001]+sin⁡θ[0−110]=exp⁡(θ[0−110]) R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} = \cos \theta \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \sin \theta \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \exp \left( \theta \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \right)

特征值

二维旋转矩阵有一对共轭复特征值, 没有实特征值

λ1=eiθ,λ2=e−iθ \lambda_1 = e^{i\theta}, \quad \lambda_2 = e^{-i\theta}

证明

det⁡(R(θ)−λI)=0 \det(R(\theta) - \lambda I) = 0

det⁡(cos⁡θ−λ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ−λ)=0 \det \begin{pmatrix} \cos\theta - \lambda & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta - \lambda \end{pmatrix} = 0

(cos⁡θ−λ)2+sin⁡2θ=0 (\cos\theta - \lambda)^2 + \sin^2\theta = 0

cos⁡2θ−2λcos⁡θ+λ2+sin⁡2θ=0 \cos^2\theta - 2\lambda\cos\theta + \lambda^2 + \sin^2\theta = 0

λ2−2λcos⁡θ+1=0 \lambda^2 - 2\lambda\cos\theta + 1 = 0

使用求根公式，得到：

λ=cos⁡θ±isin⁡θ \lambda = \cos\theta \pm i\sin\theta

因此，特征值为：

λ1=eiθ,λ2=e−iθ \lambda_1 = e^{i\theta}, \quad \lambda_2 = e^{-i\theta}

这两个特征值都是复数，且它们是共轭复数。

三维空间

在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位1的实特征值。旋转矩阵指定关于对应的特征向量的旋转（欧拉旋转定理）。如果旋转角是 θ\theta，则旋转矩阵的另外两个（复数）特征值是 exp⁡(iθ)\exp(i\theta) 和 exp⁡(−iθ)\exp(-i\theta)。从而得出三维旋转的迹数等于 1+2cos⁡(θ)1 + 2 \cos(\theta)，这可用来快速地计算任何三维旋转的旋转角。 三维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵。因为只需要三个实数来指定三维斜对称矩阵，得出只用三个实数就可以指定一个三维旋转矩阵。

旋转

生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合。关于右手笛卡尔坐标系的 x-, y- 和 z-轴的旋转分别叫做 roll, pitch 和 yaw 旋转。因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转，它们的生成元很容易表达。

绕 x-轴的主动旋转

Rx(θx)=[1000cos⁡θx−sin⁡θx0sin⁡θxcos⁡θx]=exp⁡(θx[10000−1010]) R_x(\theta_x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta_x & -\sin \theta_x \\ 0 & \sin \theta_x & \cos \theta_x \end{bmatrix} = \exp \left( \theta_x \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \right)

这里的 θx\theta_x 是 roll 角，和右手螺旋的方向相反（在 yz 平面顺时针）。

绕 y-轴的主动旋转

Ry(θy)=[cos⁡θy0sin⁡θy010−sin⁡θy0cos⁡θy]=exp⁡(θy[001010−100]) R_y(\theta_y) = \begin{bmatrix} \cos \theta_y & 0 & \sin \theta_y \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \theta_y & 0 & \cos \theta_y \end{bmatrix} = \exp \left( \theta_y \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \right)

这里的 θy\theta_y 是 pitch 角，和右手螺旋的方向相反（在 zx 平面顺时针）。

绕 z-轴的主动旋转

Rz(θz)=[cos⁡θz−sin⁡θz0sin⁡θzcos⁡θz0001]=exp⁡(θz[0−10100001]) R_z(\theta_z) = \begin{bmatrix} \cos \theta_z & -\sin \theta_z & 0 \\ \sin \theta_z & \cos \theta_z & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \exp \left( \theta_z \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \right)

这里的 θz\theta_z 是 yaw 角，和右手螺旋的方向相反（在 xy 平面顺时针）。

性质

旋转矩阵是正交矩阵, 因此具有正交矩阵的所有性质

  1. 逆矩阵：Q−1=QTQ^{-1} = Q^T
  2. 列向量正交：列向量彼此正交，且范数为1。
  3. 行向量正交：行向量彼此正交，且范数为1。
  4. 保距性：保留向量的长度和内积。

应用

旋转矩阵在计算机图形学、[[机器人动力学]]、物理学和信号处理等领域有广泛应用。