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零化度(Nullity)是矩阵零空间的维数, 即所有使得Ax=0Ax = 0的向量集合的维数. 零化度反映了线性方程组Ax=0Ax = 0的解空间的自由度.

计算方法

对于特征值λ\lambda, 零化度表示特征值λ\lambda的几何重数, 即与λ\lambda相关的线性无关特征向量的个数.

Nullity(AλI)=dim(Null(AλI)) \text{Nullity}(A - \lambda I) = \dim(\text{Null}(A - \lambda I))

特殊情况

如果AAn×nn \times n的方阵:

Nullity(A)=nrank(A) \text{Nullity}(A) = n - \text{rank}(A)

如果AAm×nm \times n的矩阵:

Nullity(A)=nrank(A) \text{Nullity}(A) = n - \text{rank}(A)

示例

A=[120300141203] A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 0 & 3 \end{bmatrix}

  1. 求矩阵的秩( Rank)
    将矩阵AA化简为行最简形:

RREF(A)=[120300140000] RREF(A) = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

矩阵的秩是非零行的数量, 这里为2.

  1. 计算零化度( Nullity) : 零化度=列数减去秩:

Nullity(A)=42=2 \text{Nullity}(A) = 4 - 2 = 2