定义

对于一个线性变换$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ ，核是所有被映射为 零向量 的输入向量的集合。也就是说，核是方程 $A\cdot x=0$ 的所有解的集合，其中 $A$ 是线性变换的矩阵。 形式化地，核是：

$$\text{Ker}(f) = \{x \in \mathbb{R}^n \mid A \cdot x = 0\}$$

核描述了哪些输入经过线性变换后变成零向量。这些向量表示矩阵 无法区分的方向。

求核的过程就是找到所有满足 $A\cdot x=0$ 的向量$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$ 。求解这个方程组时，会出现一个线性方程组的解空间，这是一个向量空间。我们希望通过找出该空间的基和维数来描述核。

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示例

给定：

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 8 & 24 & 24 \\ 0 & 2 & 6 & 6 \end{pmatrix}$$

我们要找所有向量 使得 。这个问题就是在求矩阵 的零空间。

1. 化简矩阵

直接解会遇到多个变量，通过高斯消元法来找出其中的主元列和自由变量，以方便解出所有的可能解。 转化为RREF：

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

这个形式更容易看出哪些变量是自由变量，哪些是主元变量。

2. 解方程组

两个方程只能确定两个变量，剩余两个变量为自由变量，设$x_3=s$, $x_4=t$, 从化简后的矩阵可以写出以下两个方程：

1. $x_1+x_3=0\Rightarrow x_1=-s$
2. $x_2+3x_3+x_4=0\Rightarrow x_2=-3s-t$ 因此，解空间中的任意解可以表示为：

$$x_1 = 3s, \quad x_2 = -3t - 3s, \quad x_3 = t, \quad x_4 = s$$

将其表示为向量形式：

$$x = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} s + \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} t$$

这样写意味着所有解都可以用这两个向量的线性组合来表示。

3. 核的基和维数

基：上面的两个向量就是核的基。任何解都可以由这两个向量的线性组合得到。

$$\left\{ \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$$

维数：核的基有两个向量，因此核的维数为 2。