直和用于描述两个或多个较小的[代数结构]组合成一个更大结构的方法，同时保持原有结构的独立性。

向量空间的直和

直和最常见的应用是在向量空间中。如果有两个向量空间 $V$ 和 $W$，它们的直和记为 $V \oplus W$，定义为所有可能的有序对 $(v, w)$ 的集合，其中 $v \in V$ 和 $w \in W$。这个新的向量空间的加法和标量乘法定义为：

• 加法：$(v_1, w_1) + (v_2, w_2) = (v_1 + v_2, w_1 + w_2)$
• 标量乘法：$a(v, w) = (av, aw)$ 直和使得每个元素可以唯一地表示为来自 $V$ 和 $W$ 的元素的组合。这种结构特别有用，因为它保持了原始空间的所有属性，并且使得分析和运算可以在更高维度上进行。

其他代数结构的直和

直和的概念也可以扩展到其他代数结构，如群或模。在这些情况下，直和通常涉及将结构的元素作为组合，保持各自的代数操作，确保整体结构在代数意义上的闭合和自洽。

简介

直和可以视为一种将多个较小的结构“拼接”成一个更大结构的方式，其中每个小结构在新结构中保持独立不变。这与日常生活中的许多情况相似，例如将两个不同的公司部门合并为一个大部门，但每个部门仍然保持其原有的运作方式和责任区域。