正交函数

两个函数 $f$ 与 $g$ 在区间 $[a,b]$ 上正交，若其内积为零：

$$\langle f,g \rangle = \int_{a}^{b} f(x)g(x)\,dx = 0$$

性质

1. 若一组函数两两正交，则它们线性无关。
2. 正交函数系可用于级数展开——将任意函数表示为正交基的线性组合，$\langle f,\phi_n \rangle / \langle \phi_n,\phi_n \rangle$ 为展开系数。

与傅里叶级数的关系

傅里叶级数是正交函数展开的经典实例：$\{1, \cos nx, \sin nx\}$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上两两正交。不同于一般线性空间的基，正交基的个数不必等于空间维数。

应用

信号处理、量子力学、数值分析等领域大量使用正交函数系以简化运算——将微分方程或积分方程投影到正交基上，原问题转化为代数方程。