正交函数

取实 Hilbert 空间 $L^2([a,b])$，函数按几乎处处相等识别。两个平方可积函数 $f,g$ 在区间 $[a,b]$ 上正交，若其内积为零：

$$\langle f,g \rangle = \int_{a}^{b} f(x)g(x)\,dx = 0$$

性质

1. 由非零元素组成的正交系线性无关；这里“非零”指 $L^2$ 范数非零。
2. 正交函数系可用于级数展开——对完备正交系，将任意 $L^2$ 元素表示为范数收敛的级数，$\langle f,\phi_n \rangle / \langle \phi_n,\phi_n \rangle$ 为展开系数。

与傅里叶级数的关系

傅里叶级数是正交函数展开的经典实例：$\{1,\cos nx,\sin nx:n=1,2,\ldots\}$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上两两正交。有限维正交基的向量数仍等于维数。无限维中，这里的 Hilbert 基用收敛级数展开，不能与只允许有限线性组合的代数基混同。

应用

信号处理、量子力学、数值分析等领域大量使用正交函数系以简化运算——将微分方程或积分方程投影到正交基上，原问题转化为代数方程。