如果 $A$ 是矩阵, 它的零空间就是所有向量空间的线性子空间, 这个线性子空间的维度称为 $A$ 的[零化度]

在线性代数中，矩阵$A$的零空间(Null Space)是指所有满足$A\mathbf{v} = 0$的向量$\mathbf{v}$的集合。这个集合是一个线性子空间。

形式上, 零空间定义为:

$$\text{Null}(A - \lambda I) = \{ v \mid (A - \lambda I)v = 0 \}$$

子空间

零空间是线性子空间，因为它满足上述三个条件.

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Wikipedia

在数学中, 一个算子 $A$ 的零空间是方程 $Av = 0$ 的所有解 $v$ 的集合. 它也被称为 $A$ 的核( 核空间) . 用集合构造符号表示为:

$$\text{Ker}(A)=\text{Null}(A) = \{ v \in V : Av = 0 \}$$

尽管“核”这一术语更加常用, 但“零空间”有时用于避免在讨论积分变换时的混淆. 应当注意不要将零空间与零向量空间混淆, 后者是仅包含零向量的空间. 如果算子是在向量空间上的线性算子, 则其零空间亦是线性子空间, 因此零空间是向量空间的一种.

例子

1. 线性映射示例:

考虑函数 $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, 映射规则为 $(x, y) \mapsto x - y$. 这是一个线性映射, 因为:

$$f(x + \lambda z, y + \lambda w) = (x + \lambda z) - (y + \lambda w) = f(x, y) + \lambda f(z, w)$$

它的零空间由所有第一个坐标和第二个坐标相等的向量组成, 即描述了一条直线 $\{(x, x) : x \in \mathbb{R}\}$.

2. 点积定义的线性映射:

在一个线性空间中固定一个向量 $y$ 并定义线性映射 $f$ 为向量 $x$ 与 $y$ 的点积. 其零空间由所有正交于 $y$ 的向量组成, 即 $y$ 的正交补.

3. 找到一个矩阵的零空间:

考虑矩阵 $A$ 如下所示:

$$A = \begin{bmatrix} -2 & -4 & 4 \\ 2 & -8 & 0 \\ 8 & 4 & -12 \end{bmatrix}$$

要找到它的零空间, 我们需要找到所有向量 $v$ 使得 $Av = 0$. 首先将矩阵 $A$ 转换成简化行阶梯形矩阵 $E$:

$$E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -4/3 \\ 0 & 1 & -1/3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

有 $Av = 0$ 当且仅当 $Ev = 0$. 使用向量 $v = [x, y, z]^T$, 此方程变为:

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -4/3 \\ 0 & 1 & -1/3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

解此方程, 得:

$$\begin{bmatrix} x - 4z/3 \\ y - z/3 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

$$x = 4z/3, \quad y = z/3$$

用参数 $s$ 表示 $z$, 我们得到:

$$v = \begin{bmatrix} 4s/3 \\ s \end{bmatrix}$$

所以, 矩阵 $A$ 的零空间是由上述形式的向量构成的一维空间, 其中 $s$ 是任意标量.

性质

• 秩-零化度定理表明任何矩阵的秩加上它的零化度等于这个矩阵的列数.

• 对应于零奇异值的 $A$ 的右奇异向量形成了 $A$ 的零空间的基.

• $A$ 的零空间可用来找到和表达线性方程 $Ax = b$ 的所有解( 完全解) . 如果 $x_1$ 是这个方程的一个解, 称为特定解, 则方程的完全解等于特定解加上来自零空间的任何向量. 特定解依 $b$ 而变化, 而零空间的向量不变.

示例

设矩阵$A$为一个$3 \times 4$的矩阵：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$

1. 求矩阵的秩（Rank）：

将矩阵$A$化简为行最简形：

$$1REF(A) = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

矩阵的秩是非零行的数量，这里为2。

2. 计算零化度（Nullity）：

零化度为列数减去秩：

$$\text{Nullity}(A) = 4 - 2 = 2$$

这意味着零空间是一个2维的子空间，其中包含所有满足$A\mathbf{v} = 0$的向量$\mathbf{v}$。

总结

零空间是所有使矩阵$A$乘以该向量等于零向量的向量集合，它是一个线性子空间。零空间的维数称为零化度。零空间作为线性子空间，满足向量加法和标量乘法的封闭性，因此本身是一个向量空间的子集。