零空间

定义

如果 $A$ 是矩阵, 它的零空间就是所有向量空间的线性子空间, 这个线性子空间的维度称为 $A$ 的[零化度]

在线性代数中，矩阵$A$的零空间(Null Space)是指所有满足$A\mathbf{v} = 0$的向量$\mathbf{v}$的集合。这个集合是一个线性子空间。

给定一个代表线性变换的 $m \times n$ 矩阵 $A$，其核或零空间被定义为：

$$\text{Ker}(A) = \text{Null}(A) = \{x \in \mathbb{R}^n \mid A x = 0\}$$

零空间也可以用特征空间来定义，它本身是零空间的一个特殊应用:

$$\text{Ker}(A - \lambda I) =\text{Null}(A - \lambda I) = \{ v \mid (A - \lambda I)v = 0 \}$$

性质

回顾子空间的定义:
子空间

零空间是线性子空间，因为它满足上述三个条件.

秩-零化度定理

秩-零化度定理 (Rank-Nullity Theorem): 对于一个 $m \times n$ 矩阵 $A$，其秩 (rank, 主元列的数量) 加上其零化度 (nullity, 自由变量的数量) 等于矩阵的列数 $n$。

$$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$$

在上面的例子中，$A$ 是一个 $3 \times 4$ 矩阵，$\text{rank}(A)=2$，$\text{nullity}(A)=2$，满足 $2+2=4$。

计算

求解一个矩阵 $A$ 的核（零空间）就是求解齐次线性方程组 $Ax = 0$。标准步骤如下：

1. 高斯消元: 对矩阵 $A$ 进行初等行变换，将其化为 行最简形矩阵 (RREF)。
2. 识别变量: 在 RREF 形式中，确定 主元变量 (pivot variables, 对应主元列) 和 自由变量 (free variables, 对应非主元列)。
3. 表示通解: 从 RREF 写出对应的方程组，将主元变量用自由变量来表示。
4. 构建基向量: 将通解写成向量形式，并将其分解为自由变量的线性组合。组合中的这些向量就构成了核（零空间）的一组 基 (Basis)。
5. 确定维数: 基向量的数量就是核的 维数，即零化度 (Nullity)。

零空间的计算过程

示例

设矩阵$A$为一个$3 \times 4$的矩阵：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$

1. 求矩阵的秩（Rank）：
   将矩阵$A$化简为行最简形：

$$1REF(A) = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

矩阵的秩是非零行的数量，这里为2。
2. 计算零化度（Nullity）：
零化度为列数减去秩：

$$\text{Nullity}(A) = 4 - 2 = 2$$

这意味着零空间是一个2维的子空间，其中包含所有满足$A\mathbf{v} = 0$的向量$\mathbf{v}$。