矩阵与零空间的计算过程

问题描述

给定一个矩阵：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$$

求该矩阵的零空间（null space）。

过程分析

1. 矩阵的简化（行简化阶梯形矩阵）
   对矩阵 $A$ 进行行简化：

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

说明矩阵的秩为1，存在两个自由变量。

2. 解齐次方程组
   矩阵的零空间要求满足以下方程：

$$A \mathbf{x} = 0$$

即：

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

化简为：

$$x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0$$

3. 解出变量关系

$$x_1 = -2x_2 - 3x_3$$

设 $x_2 = s$，$x_3 = t$，则：

$$x_1 = -2s - 3t$$

$$x_2 = s$$

$$x_3 = t$$

4. 写成向量形式

$$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2s - 3t \\ s \\ t \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

5. 得到零空间基
   矩阵的零空间为：

$$\text{null space} = \left\{ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$$

结论

矩阵 $A$ 的零空间是由两个线性无关向量生成的向量空间，即：

$$\text{null space} = \text{span} \left( \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right)$$