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施密特正交化

CyletixGPT-4GPT-6数学AI

施密特正交化在向量空间中将一组线性无关的向量转化为一组正交向量，是构造标准正交基（如正交对角化所需）的标准算法。

步骤

在实内积空间中，设我们有一组线性无关的向量 {v1,v2,…,vn}\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}。
施密特正交化过程如下：

  1. 设 u1=v1u_1 = v_1
  2. 对于 k=2,3,…,nk = 2, 3, \ldots, n，计算

    uk=vk−∑j=1k−1⟨vk,uj⟩⟨uj,uj⟩uju_k = v_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle v_k, u_j \rangle}{\langle u_j, u_j \rangle} u_j

    其中，⟨⋅,⋅⟩\langle \cdot, \cdot \rangle 表示内积。
  3. 归一化每一个正交向量 uiu_i，得到单位向量 eie_i：

    ei=ui∥ui∥e_i = \frac{u_i}{\|u_i\|}

经过以上步骤，我们得到了一组正交且归一化的向量 {e1,e2,…,en}\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}。

示例

假设我们有一组二维向量 {v1,v2}\{v_1, v_2\}，其中

v1=[11],v2=[10]v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}

按照施密特正交化过程，我们进行如下计算：

  1. 首先，设 u1=v1u_1 = v_1，所以

u1=[11]u_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

  1. 然后，计算 u2u_2：

u2=v2−⟨v2,u1⟩⟨u1,u1⟩u1u_2 = v_2 - \frac{\langle v_2, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle} u_1

其中，

⟨v2,u1⟩=1×1+0×1=1\langle v_2, u_1 \rangle = 1 \times 1 + 0 \times 1 = 1

⟨u1,u1⟩=1×1+1×1=2\langle u_1, u_1 \rangle = 1 \times 1 + 1 \times 1 = 2

因此，

u2=[10]−12[11]=[10]−[0.50.5]=[0.5−0.5]u_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} - \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0.5 \\ 0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.5 \\ -0.5 \end{bmatrix}

  1. 最后，归一化 u1u_1 和 u2u_2，得到单位向量：

    e1=u1∥u1∥=12[11]=[1212]e_1 = \frac{u_1}{\|u_1\|} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}

    e2=u2∥u2∥=10.52+(−0.5)2[0.5−0.5]=[12−12]e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|} = \frac{1}{\sqrt{0.5^2 + (-0.5)^2}} \begin{bmatrix} 0.5 \\ -0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}

最终，我们得到一组正交且归一化的向量：

e1=[1212],e2=[12−12]e_1 = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}, \quad e_2 = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}

这就是施密特正交化的基本过程和应用示例。

每一步减去的是前面向量张成空间的正交投影，因此保留逐步张成空间且产生正交向量。线性无关保证 uk≠0u_k\ne0；输入相关时某一步会得到零向量，须跳过该项再处理后续向量，不能归一化零向量。若用于对称矩阵的特征向量，只在同一特征子空间内部正交化；不同特征值的特征空间本已正交，任意混合不同特征值的向量可能失去特征向量性质。数值实现见QRD。

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