坐标变换

在线性代数中，坐标变换是指同一个向量在不同基下的坐标表示之间的转换。

定义

设同一个向量 $v$ 在旧基下的坐标为 $[v]_B$，在新基下的坐标为 $[v]_{B'}$。若新基向量在旧基下的坐标按列组成矩阵 $P$，则有：

$$[v]_B = P[v]_{B'},\qquad [v]_{B'} = P^{-1}[v]_B.$$

性质

• 依赖于基：坐标变化来自基的变化，向量本身并没有改变。
• 可逆性：基与基之间的坐标变换矩阵一定可逆。

示例

• 若在 $\mathbb{R}^2$ 中取旧基为标准基 $B$，新基为

$$B' = \left\{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\right\},$$

则

$$P=\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}$$

给出两组坐标之间的关系。

应用

坐标变换在物理学、工程学和图形学中广泛应用；在线性代数中，它是理解基变换、相似变换概述和矩阵表示的基础。

在此例中取 $[v]_B=(3,1)^{\mathsf T}$，则

$$P^{-1}=\tfrac12\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix},\qquad [v]_{B'}=(2,1)^{\mathsf T}.$$

反代 $2(1,1)^{\mathsf T}+1(1,-1)^{\mathsf T}=(3,1)^{\mathsf T}$，验证改变的是系数。这里两组基有共同原点；若同时改变原点，还需要平移项，属于仿射坐标变换。