Introduction

坐标变换是将几何空间中点的坐标从一个坐标系转换到另一个坐标系的过程。

Definition

坐标变换涉及从一个坐标系 $(x, y, z)$ 转换到另一个坐标系 $(x', y', z')$。变换关系通常由变换矩阵 $A$ 给出：

$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$

Properties

• 线性变换：若变换为线性，则变换矩阵 $A$ 是一个线性算子。
• 非线性变换：如极坐标到笛卡尔坐标的转换，则为非线性变换。

Examples

• 从笛卡尔坐标系到极坐标系的转换：

  $$x = r \cos \theta$$

  $$y = r \sin \theta$$

• 从极坐标系到笛卡尔坐标系的转换：

  $$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$

  $$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$$

Applications

坐标变换在物理学和工程学中广泛应用。例如，机器人学中经常需要进行坐标变换以描述机器人的运动。