线性变换

线性变换是满足线性性质的变换. 也是从一个向量空间到另一个向量空间的函数.

定义

一个线性变换：

$$T: V \to W$$

• $T(u+v) = T(u) + T(v)$，
• $T(cu) = cT(u)$。

在线选定定义域与值域的基之后, 线性变换可以通过矩阵乘法来表示. 如果我们有一个向量$v$和一个矩阵$A$, 那么矩阵$A$作用于向量$v$(记为$Av$) 就给出了一个线性变换在坐标下的表示。通过线性变换, 可以方便地进行坐标变换、缩放、旋转等操作.

在有限维情形下, 只要选定一组基, 任一线性变换都可以表示为一个矩阵；矩阵乘法对应于线性变换的复合。

反过来讲, 可以把矩阵看作线性变换的表示, 这是一种范式转移, 矩阵不再是单纯的数表，而变成了线性操作。