简介

齐次是描述数学对象(多项式, 函数, 微分方程, 线性方程组)的一种性质, 反映了一种在尺度变换下的不变性或对称性。

齐次变换

对于所有的向量$v$和任意标量$c$, 齐次变换$T$满足: $$ T(c\vec{v}) = cT(\vec{v})$$^1

齐次函数

齐次函数是满足齐次性的函数，有以下倍数性质： 如果所有参数乘以一个标量，则其值乘以这个标量的某个幂次，这个幂次称为齐次度或简称度数； 也就是说，如果 k 是一个整数，n 个变量的函数 f 是 k 次齐次的，如果

$$f(sx_{1},\ldots, sx_{n}) = s^{k}f(x_{1},\ldots, x_{n})$$

对于每一个 $x_{1},\ldots, x_{n}$ 和 $s \neq 0$ 都成立。 例如，k 次齐次的多项式定义了一个 k 次齐次的函数

上述定义扩展到域和值域是域 F 上的线性空间的函数：两个 F-线性空间之间的函数

$$f : V \to W$$

是 k 次齐次的，如果

$$f(s{v}) = s^{k}f({v})$$

对于所有非零的 $s \in F$ 和 ${v} \in V$ 都成立。这个定义通常进一步泛化为域不是 V，而是 V 中的一个锥体，即 V 的子集 C，使得 ${v} \in C$ 意味着 $s{v} \in C$ 对于每个非零标量 s。

在多个实变量和实线性空间的函数中，通常考虑一种更通用的齐次形式，称为正齐次性，仅要求上述恒等式对 $s > 0$ 成立，并允许齐次度为任何实数 k。每个齐次的实函数都是正齐次的。反之则不然，但在局部上是成立的，即在考虑函数在给定点附近的行为时，两种齐次性是无法区分的（对于整数度数）。

实线性空间上的范数是一个不是齐次的正齐次函数的例子。特殊情况是实数的绝对值。同度数的两个齐次多项式的商给出了一个齐次度为零的齐次函数的例子。这个例子在射影方案的定义中是基本的。

+

$$f(x, y) = x^{2} + y^{2}$$

是二次齐次的：

$$f(tx, ty) = (tx)^{2} + (ty)^{2} = t^{2}(x^{2} + y^{2}) = t^{2}f(x, y).$$