Lp范数

$L_p$ 范数

$L_p$ 范数把向量长度从欧氏情形推广为

$$\|x\|_p = \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} \qquad (1 \le p < \infty)$$

当 $p=\infty$ 时另行定义 $\|x\|_\infty=\max_i|x_i|$，并且有限维下 $\lim_{p\to\infty}\|x\|_p=\|x\|_\infty$。

常用特例：

• $p=1$：$\|x\|_1=\sum_i|x_i|$，即曼哈顿距离；
• $p=2$：$\|x\|_2=\sqrt{\sum_i x_i^2}$，即欧几里得距离，也就是通常的范数（由内积诱导）；
• $p=\infty$：$\|x\|_\infty=\max_i|x_i|$，即切比雪夫距离。

$p\ge 1$ 时 $L_p$ 范数满足正定性、齐次性与三角不等式，因此是范数的典型实例。单位球随 $p$ 从菱形（$p=1$）变为圆形（$p=2$）再变为方形（$p=\infty$）。函数空间上的推广见Lp空间的定义。