巴拿赫空间的例子

要判断一个具体空间能否支撑分析，需要逐个验证其完备性。以下是最常用的巴拿赫空间家族，也是后续算子理论、Sobolev 空间的载体。

$\ell^p$ 空间（$1\le p<\infty$）

$\ell^p=\{(x_n):\sum_{n}|x_n|^p<\infty\}$ 赋范数 $\|x\|_p=(\sum_{n}|x_n|^p)^{1/p}$ 完备；$\ell^\infty$（有界序列，上确界范数）也完备。证明思路：柯西列逐坐标收敛到 $x$，再用 Minkowski 不等式控制 $\|x\|_p<+\infty$ 与 $\|x-x_n\|_p\to 0$。

$L^p$ 空间（$1\le p\le\infty$）

$L^p(\Omega)=\{f:\|f\|_p<+\infty\}$，$\|f\|_p=(\int_\Omega |f|^p\,d\mu)^{1/p}$（$p=\infty$ 取本质确界），在 Lebesgue 积分意义下完备（Riesz–Fischer 定理）。参见Lp范数与可测函数的定义。

$C[a,b]$ 空间

$C[a,b]$ 赋一致范数 $\|f\|_\infty=\max_{t\in[a,b]}|f(t)|$ 完备：一致收敛的连续函数列，其极限仍连续。

不完备的例子

• $C[0,1]$ 赋 $L^1$ 范数 $\|f\|_1=\int_0^1 |f|\,dt$ 不完备（用阶梯函数逼近极限不连续函数）
• 多项式全体 $\mathcal P$ 在一致范数下不完备；Weierstrass 逼近定理说明其完备化正是 $C[a,b]$

后续

这些空间是巴拿赫空间的标准模型；$L^p$ 与 $C[a,b]$ 上的连续线性泛函将在对偶空间章节给出精确刻画。