内积

本页为实欧氏空间在标准正交基下的点积。一般实、复 内积空间 的定义另见该页。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\mid \vec{a}\mid\mid \vec{b}\mid \cos\theta$$

其中夹角要求两个向量非零；含零向量时点积直接定义为零
内积可以使用矩阵乘法表示:

$$[x,y]=\vec{x}^T\vec{y}=\sum_{i=1}^n x_iy_i$$

性质

• 交换律: $[x,y]=[y,x]$
• 与实数的结合律: $[\lambda x,y]=\lambda[x,y]$
• 与向量加法的分配律: $[x+y,z]=[x,z]+[y,z]$

还满足正定性 $\mathbf x^T\mathbf x\ge0$，等号仅在 $\mathbf x=0$ 时成立。复空间的标准内积须对一个因子取共轭，不能沿用不带共轭的实点积公式。