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向量空间是一群可缩放和相加的数学实域（如实数甚至是函数）所构成的特殊集合，其特殊之处在于缩放和相加后仍属于这个集合。这些数学实域被称为向量，而向量空间正是线性代数的主要研究对象。

定义：线性空间（或向量空间）是一个集合 VV，在这个集合上定义了两个运算：向量加法和标量乘法，并且这些运算满足一些公理。

设 VV 是一个集合，FF 是一个数域（例如实数域 R\mathbb{R} 或复数域 C\mathbb{C}），若 VV 中的元素（称为向量）可以与 FF 中的元素（称为标量）进行加法和乘法运算，并满足以下八条公理，则称 VV 为数域 FF 上的一个线性空间。

线性空间的公理

  1. 加法封闭性：对任意 u,v∈Vu, v \in V，有 u+v∈Vu + v \in V。
  2. 加法交换性：对任意 u,v∈Vu, v \in V，有 u+v=v+uu + v = v + u。
  3. 加法结合性：对任意 u,v,w∈Vu, v, w \in V，有 (u+v)+w=u+(v+w)(u + v) + w = u + (v + w)。
  4. 加法单位元：存在一个零向量 0∈V0 \in V，对任意 u∈Vu \in V，有 u+0=uu + 0 = u。
  5. 加法逆元：对任意 u∈Vu \in V，存在一个向量 −u∈V-u \in V，使得 u+(−u)=0u + (-u) = 0。
  6. 乘法封闭性：对任意 a∈Fa \in F 和 u∈Vu \in V，有 a⋅u∈Va \cdot u \in V。
  7. 乘法分配性：
    • 对任意 a,b∈Fa, b \in F 和 u∈Vu \in V，有 (a+b)⋅u=a⋅u+b⋅u(a + b) \cdot u = a \cdot u + b \cdot u。
    • 对任意 a∈Fa \in F 和 u,v∈Vu, v \in V，有 a⋅(u+v)=a⋅u+a⋅va \cdot (u + v) = a \cdot u + a \cdot v。
  8. 乘法结合性：对任意 a,b∈Fa, b \in F 和 u∈Vu \in V，有 (a⋅b)⋅u=a⋅(b⋅u)(a \cdot b) \cdot u = a \cdot (b \cdot u)。
  9. 乘法单位元：对任意 u∈Vu \in V，有 1⋅u=u1 \cdot u = u，其中 11 是 FF 中的乘法单位元。

示例

  1. 实数向量空间：实数集合 Rn\mathbb{R}^n 在向量加法和标量乘法下构成一个线性空间。
  2. 复数向量空间：复数集合 Cn\mathbb{C}^n 在向量加法和标量乘法下构成一个线性空间。
  3. 多项式空间：所有次数不超过 nn 的多项式集合 PnP_n 在多项式加法和标量乘法下构成一个线性空间。
  4. 矩阵空kong间：所有 m×nm \times n 矩阵的集合在矩阵加法和标量乘法下构成一个线性空间。

线性组合与线性相关

  • 线性组合：对于向量空间 VV 中的向量 v1,v2,…,vnv_1, v_2, \ldots, v_n 和标量 a1,a2,…,an∈Fa_1, a_2, \ldots, a_n \in F，向量 a1v1+a2v2+⋯+anvna_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_n v_n 称为 v1,v2,…,vnv_1, v_2, \ldots, v_n 的一个线性组合。
  • 线性相关：如果存在不全为零的标量 a1,a2,…,an∈Fa_1, a_2, \ldots, a_n \in F 使得 a1v1+a2v2+⋯+anvn=0a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_n v_n = 0，则称向量 v1,v2,…,vnv_1, v_2, \ldots, v_n 线性相关