多元函数的定义

简介

多元函数是单变量函数的自然推广. 在理解平面点集与 n维空间后, 我们可以把"输入是一个数" 的函数, 扩展为"输入是多个数(一个n维点或向量)" 的情形.
它建立了高维空间中数量关系的桥梁, 是后续极限, 连续, 偏导数与多重积分的基础.

定义

设 $D \subseteq \mathbb{R}^n$, 若存在对应关系

$$f: D \to \mathbb{R}$$

使得对每一个点

$$\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in D$$

都对应一个确定的实数 $y = f(\mathbf{x})$, 则称 $f$ 为 $n$ 元实值函数, 或简称为 多元函数.
当 $n=2$ 时, 函数形式为 $z = f(x, y)$, 其图像是三维空间中的一个曲面;
当 $n=3$ 时, $f(x, y, z)$ 的图像位于四维空间, 只能以等值面等方式间接表示.

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定义域与值域

• 定义域: 函数 $f$ 的输入集合 $D \subseteq \mathbb{R}^n$.
• 值域: 所有可能输出值的集合 $\{f(\mathbf{x})\mid \mathbf{x}\in D\}\subseteq\mathbb{R}$.
  定义域通常是开集, 以保证邻域与极限的定义可用.

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示例

1. 二元函数

   $$f(x, y) = x^2 + y^2$$

   表示以原点为顶点的抛物面.
2. 三元函数

   $$f(x, y, z) = x + y + z$$

   表示三维空间中的线性函数, 其等值面为平面.