线性空间

简介

线性空间（或向量空间）是集合结构在代数意义上的扩展。
其中的元素称为向量，它们可以相加并能被来自数域 $F$ 的标量缩放。
这一结构保证运算后仍留在同一集合中，是线性代数与解析几何的共同基础。

定义

设 $V$ 是一个集合，$F$ 是一个数域（如 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$）。
若在 $V$ 上定义了两种运算：

• 加法：$V\times V\to V,\ (u,v)\mapsto u+v$
• 标量乘法：$F\times V\to V,\ (a,v)\mapsto a\cdot v$

并且这两种运算满足下列公理，则称 $V$ 为数域 $F$ 上的一个线性空间。

线性空间公理

对任意 $u,v,w\in V,\ a,b\in F$：

1. 加法封闭性：$u+v\in V$。
2. 加法交换性：$u+v=v+u$。
3. 加法结合性：$(u+v)+w=u+(v+w)$。
4. 加法单位元：存在 $0\in V$，使 $u+0=u$。
5. 加法逆元：存在 $-u\in V$，使 $u+(-u)=0$。
6. 乘法封闭性：$a\cdot u\in V$。
7. 乘法分配性：
   • $(a + b) \cdot u = a \cdot u + b \cdot u$。
   • $a \cdot (u + v) = a \cdot u + a \cdot v$。
8. 乘法结合性：$(ab)\cdot u=a\cdot(b\cdot u)$。
9. 乘法单位元：$1\cdot u=u$。

这些公理使得线性空间成为具有代数与几何双重性质的抽象体系。

示例

• 实数向量空间：$\mathbb{R}^n$ 在通常的向量加法与数乘下构成实数域上的线性空间。
• 复数向量空间：$\mathbb{C}^n$ 是复数域上的线性空间。
• 多项式空间：次数不超过 $n$ 的所有多项式集合 $P_n$ 构成线性空间。
• 矩阵空间：所有 $m\times n$ 实矩阵的集合构成线性空间。

基本概念

线性组合

给定向量 $v_1,v_2,\ldots,v_n\in V$ 和标量 $a_1,a_2,\ldots,a_n\in F$，
表达式

$$a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n$$

称为这些向量的线性组合。

线性相关与无关

若存在不全为零的标量 $a_i$ 使得

$$a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n=0,$$

则称向量组线性相关；否则称线性无关。

维数与基

一组极大线性无关向量称为该空间的基，其向量个数称为维数。
例如，$\mathbb{R}^n$ 的标准基为

$$\mathbf{e}_1=(1,0,\ldots,0),\ldots,\mathbf{e}_n=(0,\ldots,1)$$

维数为 $n$。

总结

线性空间是定义多元函数 $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 的自然背景。
其中 $\mathbb{R}^n$ 不仅具备代数结构（线性组合），还具备度量结构（见N维空间），
二者结合构成欧几里得空间。