维数定理

维数定理（秩-零化度定理）描述线性变换的核与像的维数关系：设 $f: V \to W$ 是有限维向量空间之间的线性变换，则

$$\dim V = \dim(\mathrm{Ker}(f)) + \dim(\mathrm{Im}(f)).$$

对 $m\times n$ 矩阵 $A$ 而言即

$$n = \dim(\mathrm{Null}(A)) + \mathrm{rank}(A).$$

其中 $\dim(\mathrm{Null}(A))$ 是零化度，$\mathrm{rank}(A)$ 是矩阵的秩，二者把输入空间维数拆成“被压缩成零的维数”与“保留下来的维数”两部分。

证明可从核的一组基 $u_1,\ldots,u_k$ 出发，将其扩充为 $V$ 的基 $u_1,\ldots,u_k,v_1,\ldots,v_r$。这些 $f(v_i)$ 张成像空间；若 $\sum_i c_if(v_i)=0$，则 $\sum_i c_iv_i$ 属于核，从扩充基的线性无关性得到所有 $c_i=0$。因此它们是像的一组基，$\dim V=k+r$。

对一致方程组 $Ax=b$，任取特解 $x_p$，全部解为 $x_p+\ker A$，自由参数数目为 $n-\operatorname{rank}A$，见线性方程组的解的结构。